Номер 18.2, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.2.1) $\arccos 2x = \frac{\pi}{6}$;

2) $\arccos 3x = \frac{\pi}{3}$;

3) $\arccos 4x = \frac{\pi}{2}$;

4) $\arccos 2x = 0.$

1) Дано уравнение $arccos(2x) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то это эквивалентно $a = cos(b)$ при условии, что $-1 \le a \le 1$ и $0 \le b \le \pi$.

В нашем случае $a = 2x$ и $b = \frac{\pi}{6}$. Условие для $b$ ($0 \le \frac{\pi}{6} \le \pi$) выполняется.

Применяем определение и получаем уравнение: $2x = cos(\frac{\pi}{6})$.

Мы знаем, что значение косинуса от угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в уравнение: $2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\sqrt{3}}{2} \div 2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Проверим выполнение условия $-1 \le 2x \le 1$. Подставим найденное значение $x$: $2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, следовательно, $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

2) Дано уравнение $arccos(3x) = \frac{\pi}{3}$.

Согласно определению арккосинуса, это уравнение можно переписать в виде $3x = cos(\frac{\pi}{3})$. Условие $0 \le \frac{\pi}{3} \le \pi$ выполняется.

Значение косинуса от угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{2}$.

Получаем уравнение: $3x = \frac{1}{2}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{6}$.

Проверим условие для аргумента арккосинуса: $-1 \le 3x \le 1$. Подставим $x$: $3x = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$. Неравенство $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$ верно.

Ответ: $x = \frac{1}{6}$.

3) Дано уравнение $arccos(4x) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, это уравнение эквивалентно $4x = cos(\frac{\pi}{2})$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$ выполняется.

Значение косинуса от угла $\frac{\pi}{2}$ равно $0$.

Получаем уравнение: $4x = 0$.

Отсюда находим $x$: $x = 0$.

Проверим условие для аргумента: $-1 \le 4x \le 1$. Подставим $x$: $4x = 4 \cdot 0 = 0$. Неравенство $-1 \le 0 \le 1$ верно.

Ответ: $x = 0$.

4) Дано уравнение $arccos(2x) = 0$.

По определению арккосинуса, это уравнение можно переписать как $2x = cos(0)$. Условие $0 \le 0 \le \pi$ выполняется.

Значение косинуса от угла $0$ равно $1$.

Получаем уравнение: $2x = 1$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{1}{2}$.

Проверим условие для аргумента: $-1 \le 2x \le 1$. Подставим $x$: $2x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Неравенство $-1 \le 1 \le 1$ верно.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.