Номер 18.6, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.6.1)
$arctg(3-4x) = \frac{\pi}{6}$;

2) $arcctg(4x + 1) = \frac{5\pi}{4}$;

3) $arccos(4-3x) = \frac{\pi}{3}$;

4) $arcsin(2x - 1) = -\frac{\pi}{6}$.

1) Решим уравнение $arctg(3 - 4x) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арктангенса, если $arctg(y) = z$, то $tg(z) = y$. При этом область значений функции арктангенс $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Так как значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит области значений арктангенса, то есть $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, уравнение имеет решение.

Применим определение к нашему уравнению:

$3 - 4x = tg(\frac{\pi}{6})$

Известно, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим это значение в уравнение:

$3 - 4x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$4x = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$4x = \frac{9 - \sqrt{3}}{3}$

$x = \frac{9 - \sqrt{3}}{12}$

Область определения функции арктангенс — все действительные числа, поэтому дополнительная проверка корня не требуется.

Ответ: $x = \frac{9 - \sqrt{3}}{12}$.

2) Решим уравнение $arcctg(4x + 1) = \frac{5\pi}{4}$.

По определению, область значений функции арккотангенс $E(y)$ — это интервал $(0; \pi)$.

Значение $\frac{5\pi}{4}$ не принадлежит этому интервалу, так как $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$, что очевидно больше $\pi$.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений, так как значение арккотангенса не может быть равным $\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: решений нет.

3) Решим уравнение $arccos(4 - 3x) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(y) = z$, то $cos(z) = y$. При этом область значений функции арккосинус $E(y) = [0; \pi]$, а область определения $D(y) = [-1; 1]$.

Значение $\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арккосинуса, поэтому решение возможно.

Применим определение к нашему уравнению:

$4 - 3x = cos(\frac{\pi}{3})$

Известно, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$4 - 3x = \frac{1}{2}$

Решим уравнение относительно $x$:

$3x = 4 - \frac{1}{2}$

$3x = \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{6}$

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли аргумент арккосинуса $(4-3x)$ области определения $[-1; 1]$ при найденном значении $x$.

Подставим $x = \frac{7}{6}$ в выражение $4 - 3x$:

$4 - 3 \cdot \frac{7}{6} = 4 - \frac{7}{2} = \frac{8}{2} - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$

Так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$, условие выполняется. Следовательно, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{7}{6}$.

4) Решим уравнение $arcsin(2x - 1) = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(y) = z$, то $sin(z) = y$. При этом область значений функции арксинус $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, а область определения $D(y) = [-1; 1]$.

Значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит области значений арксинуса, поэтому решение возможно.

Применим определение к нашему уравнению:

$2x - 1 = sin(-\frac{\pi}{6})$

Известно, что $sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$2x - 1 = -\frac{1}{2}$

Решим уравнение относительно $x$:

$2x = 1 - \frac{1}{2}$

$2x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{4}$

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли аргумент арксинуса $(2x-1)$ области определения $[-1; 1]$ при найденном значении $x$.

Подставим $x = \frac{1}{4}$ в выражение $2x - 1$:

$2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

Так как $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$, условие выполняется. Следовательно, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.