Номер 18.10, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.10. Найдите корни уравнения:

1) $8\arccos^2x + 2\pi\arccos x - \pi^2 = 0;$

2) $3\arcsin^2x + 2\pi\arcsin x - \pi^2 = 0;$

3) $18\arccos^2x = 3\pi\arccos x + \pi^2;$

4) $\arcsin^2x - 2\pi\arcsin x - 3\pi^2 = 0.$

1) Исходное уравнение: $8\arccos^2x + 2\pi\arccos x - \pi^2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $\arccos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \arccos x$.

Область значений арккосинуса: $0 \le y \le \pi$.

Подставим $y$ в уравнение:

$8y^2 + 2\pi y - \pi^2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (2\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-\pi^2) = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2$.

$y_{1,2} = \frac{-2\pi \pm \sqrt{36\pi^2}}{2 \cdot 8} = \frac{-2\pi \pm 6\pi}{16}$.

$y_1 = \frac{-2\pi + 6\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$.

$y_2 = \frac{-2\pi - 6\pi}{16} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2}$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $0 \le y \le \pi$.

$y_1 = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет условию, так как $0 \le \frac{\pi}{4} \le \pi$.

$y_2 = -\frac{\pi}{2}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} < 0$.

Следовательно, подходит только один корень $y = \frac{\pi}{4}$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\arccos x = \frac{\pi}{4}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Исходное уравнение: $3\arcsin^2x + 2\pi\arcsin x - \pi^2 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \arcsin x$.

Область значений арксинуса: $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Подставим $y$ в уравнение:

$3y^2 + 2\pi y - \pi^2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = (2\pi)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-\pi^2) = 4\pi^2 + 12\pi^2 = 16\pi^2$.

$y_{1,2} = \frac{-2\pi \pm \sqrt{16\pi^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-2\pi \pm 4\pi}{6}$.

$y_1 = \frac{-2\pi + 4\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

$y_2 = \frac{-2\pi - 4\pi}{6} = \frac{-6\pi}{6} = -\pi$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

$y_1 = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.

$y_2 = -\pi$ не удовлетворяет условию, так как $-\pi < -\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, подходит только один корень $y = \frac{\pi}{3}$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\arcsin x = \frac{\pi}{3}$.

$x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Исходное уравнение: $18\arccos^2x = 3\pi\arccos x + \pi^2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$18\arccos^2x - 3\pi\arccos x - \pi^2 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \arccos x$, где $0 \le y \le \pi$.

Подставим $y$ в уравнение:

$18y^2 - 3\pi y - \pi^2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$.

$y_{1,2} = \frac{-(-3\pi) \pm \sqrt{81\pi^2}}{2 \cdot 18} = \frac{3\pi \pm 9\pi}{36}$.

$y_1 = \frac{3\pi + 9\pi}{36} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$.

$y_2 = \frac{3\pi - 9\pi}{36} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $0 \le y \le \pi$.

$y_1 = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию.

$y_2 = -\frac{\pi}{6}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{6} < 0$.

Следовательно, подходит только один корень $y = \frac{\pi}{3}$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\arccos x = \frac{\pi}{3}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Исходное уравнение: $\arcsin^2x - 2\pi\arcsin x - 3\pi^2 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \arcsin x$, где $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 - 2\pi y - 3\pi^2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = (-2\pi)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3\pi^2) = 4\pi^2 + 12\pi^2 = 16\pi^2$.

$y_{1,2} = \frac{-(-2\pi) \pm \sqrt{16\pi^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2\pi \pm 4\pi}{2}$.

$y_1 = \frac{2\pi + 4\pi}{2} = \frac{6\pi}{2} = 3\pi$.

$y_2 = \frac{2\pi - 4\pi}{2} = \frac{-2\pi}{2} = -\pi$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

$y_1 = 3\pi$ не удовлетворяет условию, так как $3\pi > \frac{\pi}{2}$.

$y_2 = -\pi$ не удовлетворяет условию, так как $-\pi < -\frac{\pi}{2}$.

Так как ни один из найденных корней для $y$ не входит в область значений арксинуса, то исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.