Номер 18.16, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.16. Докажите, что $2\arccos \sqrt{\frac{x+1}{2}} = \arccos x$.

Для доказательства данного тождества сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Для функции в правой части, $\arccos x$, область определения: $x \in [-1, 1]$.

2. Для функции в левой части, $2\arccos\sqrt{\frac{x+1}{2}}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и чтобы аргумент арккосинуса находился в пределах от -1 до 1.

Условие неотрицательности подкоренного выражения: $\frac{x+1}{2} \ge 0$, что эквивалентно $x+1 \ge 0$, или $x \ge -1$.

Условие для аргумента арккосинуса: $-1 \le \sqrt{\frac{x+1}{2}} \le 1$. Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, это неравенство сводится к $0 \le \sqrt{\frac{x+1}{2}} \le 1$. Возводя все части в квадрат, получаем $0 \le \frac{x+1}{2} \le 1$. Умножая на 2, имеем $0 \le x+1 \le 2$. Вычитая 1 из всех частей, приходим к неравенству $-1 \le x \le 1$.

Объединяя все условия, получаем, что ОДЗ для всего тождества есть $x \in [-1, 1]$.

Теперь приступим к самому доказательству. Пусть $\alpha = \arccos x$. Согласно определению функции арккосинус, это означает, что $\cos \alpha = x$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Подставим $x = \cos \alpha$ в левую часть доказываемого равенства:

$2\arccos\sqrt{\frac{x+1}{2}} = 2\arccos\sqrt{\frac{\cos \alpha + 1}{2}}$

Используем тригонометрическую формулу половинного угла для косинуса: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1+\cos \alpha}{2}$.

Подставляя это в наше выражение, получаем:

$2\arccos\sqrt{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = 2\arccos\left|\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right|$

Чтобы раскрыть модуль, рассмотрим диапазон изменения угла $\frac{\alpha}{2}$. Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, то, разделив на 2, получим $0 \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$. В этом интервале (первая и вторая координатные четверти для угла на единичной окружности) косинус неотрицателен, то есть $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \ge 0$.

Следовательно, $\left|\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right| = \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь левая часть тождества имеет вид:

$2\arccos\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

По определению, $\arccos(\cos y) = y$ только если $y$ принадлежит основному промежутку $[0, \pi]$. Мы установили, что $0 \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$, что является подмножеством отрезка $[0, \pi]$. Значит, мы можем применить это свойство:

$\arccos\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{\alpha}{2}$

В итоге левая часть тождества преобразуется к виду:

$2 \cdot \frac{\alpha}{2} = \alpha$

Вспомним, что мы изначально обозначили $\alpha = \arccos x$, что является правой частью исходного тождества. Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $2\arccos\sqrt{\frac{x+1}{2}} = \arccos x$ доказано для всех $x \in [-1, 1]$.