Номер 1, страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Значение выражения $2\arcsin(-0,5) - 2\arccos2\pi + \text{arctg}\sqrt{3}$ равно:

A) $-\frac{3\pi}{4}$;

B) $2\pi$;

C) $\pi$;

D) $-2\pi$.

1. Для нахождения значения выражения $2\arcsin(-0,5) - 2\arccos(2\pi) + \operatorname{arctg}\sqrt{3}$ необходимо вычислить значение каждого его компонента.

Сначала вычислим значение первого члена: $2\arcsin(-0,5)$. По определению, $\arcsin(x)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Так как $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -0,5$ и угол $-\frac{\pi}{6}$ находится в указанном диапазоне, то $\arcsin(-0,5) = -\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $2\arcsin(-0,5) = 2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3}$.

Далее вычислим значение третьего члена: $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$. По определению, $\operatorname{arctg}(x)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ находится в указанном диапазоне, то $\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь рассмотрим второй член: $-2\arccos(2\pi)$. Область определения функции арккосинус, $\arccos(x)$, — это отрезок $[-1, 1]$. Значение $2\pi \approx 6,28$ не входит в эту область, поэтому выражение $\arccos(2\pi)$ не определено. Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что вместо $2\pi$ в аргументе арккосинуса должно стоять число $-1$, то задача получает решение, совпадающее с одним из предложенных вариантов ответа.

Примем, что искомый член равен $-2\arccos(-1)$. По определению, $\arccos(x)$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$. Так как $\cos(\pi) = -1$ и $\pi$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, то $\arccos(-1) = \pi$. Таким образом, $-2\arccos(-1) = -2 \cdot \pi = -2\pi$.

Теперь подставим все вычисленные значения в исправленное выражение:

$2\arcsin(-0,5) - 2\arccos(-1) + \operatorname{arctg}\sqrt{3} = -\frac{\pi}{3} - 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Складывая полученные значения, получаем итоговый результат:

$(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - 2\pi = 0 - 2\pi = -2\pi$.

Этот результат соответствует варианту ответа D.

Ответ: $-2\pi$.