Номер 18.15, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.15. Докажите, что если $x \in (-1; 1)$, то $\arcsin x - \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = 0.$

Для доказательства тождества $\arcsin x - \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = 0$ при $x \in (-1; 1)$ преобразуем его левую часть.Необходимо доказать, что $\arcsin x = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ для указанного интервала $x$.

Введем замену: пусть $\alpha = \arcsin x$.

По определению функции арксинус, это означает, что $\sin \alpha = x$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Из условия задачи $x \in (-1; 1)$, следует, что $x$ не принимает крайние значения $-1$ и $1$. Это значит, что $\alpha$ не может быть равным $-\frac{\pi}{2}$ или $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, угол $\alpha$ принадлежит строгому интервалу $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Теперь выразим аргумент функции арктангенс, то есть $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, через $\alpha$.Подставим $x = \sin \alpha$ в это выражение:

$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем:

$\frac{\sin \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{|\cos \alpha|}$

Поскольку мы установили, что $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, значение косинуса на этом интервале всегда положительно, т.е. $\cos \alpha > 0$. Следовательно, $|\cos \alpha| = \cos \alpha$.

Таким образом, выражение упрощается до тангенса:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$

Теперь мы можем переписать правую часть доказываемого равенства:

$\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \arctan(\tan \alpha)$

По определению, $\arctan(\tan y) = y$ только в том случае, если $y$ принадлежит главному диапазону значений арктангенса, то есть $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Так как наш угол $\alpha$ удовлетворяет этому условию, $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то мы можем утверждать, что $\arctan(\tan \alpha) = \alpha$.

Вспомним, что мы изначально обозначили $\alpha = \arcsin x$. Следовательно, мы доказали, что $\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$.

Тогда исходное выражение принимает вид:

$\arcsin x - \arcsin x = 0$

Равенство $0=0$ является истинным, что и доказывает исходное утверждение.

Ответ: Тождество $\arcsin x - \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = 0$ для $x \in (-1; 1)$ доказано.