Номер 18.19, страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.19. Найдите:

1) $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{2}$, $sin \alpha$, если $cos \alpha = \frac{7}{9}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$;

2) $cos \alpha$, $tg \alpha$, если $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1) Дано: $\cos\alpha = \frac{7}{9}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то угол $\frac{\alpha}{2}$ также находится в первой четверти ($0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$). В первой четверти значения синуса и косинуса положительны. Следовательно, $\sin\alpha > 0$, $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$ и $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$.

Для нахождения $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$ используем формулы половинного угла:

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$

Подставим известное значение $\cos\alpha$:

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{9-7}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

Так как $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$, извлекаем положительный корень:

$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$

Подставим известное значение $\cos\alpha$:

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{9+7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$.

Так как $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$, извлекаем положительный корень:

$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Для нахождения $\sin\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{7}{9})^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81}$.

Так как $\sin\alpha > 0$, извлекаем положительный корень:

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Проверить результат можно с помощью формулы синуса двойного угла: $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$, $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

2) Дано: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Угол $\alpha$ находится во второй четверти. В этой четверти $\cos\alpha < 0$ и $\tan\alpha < 0$.

Для нахождения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

Так как $\cos\alpha < 0$ (вторая четверть), извлекаем отрицательный корень:

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Для нахождения $\tan\alpha$ используем определение тангенса $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{-\frac{\sqrt{7}}{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\tan\alpha = -\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$, $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{14}}{7}$.