Номер 2, страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Значение выражения $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ равно:
A) $\frac{\pi}{2}$;
B) $\frac{2\pi}{3}$;
C) $-0.5\pi$;
D) $-\pi$.

Для нахождения значения выражения необходимо последовательно вычислить значение каждого его члена.

1. Вычислим значение $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $.Используем формулу для арккосинуса от отрицательного аргумента: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.Так как $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $.Следовательно, $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

2. Вычислим значение $ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) $.Используем формулу для арккотангенса от отрицательного аргумента: $ \text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x) $.Так как $ \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $, то $ \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3} $.Следовательно, $ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

3. Вычислим значение $ \arcsin(-\frac{1}{2}) $.Используем формулу для арксинуса от отрицательного аргумента: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.Так как $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $, то $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $.Следовательно, $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - \arcsin(-\frac{1}{2}) = \frac{5\pi}{6} - 3 \cdot \frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) $.

Выполним арифметические действия:

$ \frac{5\pi}{6} - \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} - 2\pi + \frac{\pi}{6} $.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) - 2\pi = \frac{6\pi}{6} - 2\pi = \pi - 2\pi = -\pi $.

Полученное значение $ -\pi $ соответствует варианту ответа D.

Ответ: D) $ -\pi $.