Номер 18.17, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.17. Решите уравнение:

1) $4\text{arctg}x - 6\text{arcctg}x = \pi$;

2) $\text{arcctg}3x = \text{arctg}3x - \frac{\pi}{4}$.

1) Дано уравнение $4\arctg x - 6\arcctg x = \pi$.

Для решения этого уравнения воспользуемся основным тождеством, связывающим арктангенс и арккотангенс:

$\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$

Из этого тождества выразим $\arcctg x$ через $\arctg x$:

$\arcctg x = \frac{\pi}{2} - \arctg x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$4\arctg x - 6(\frac{\pi}{2} - \arctg x) = \pi$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение относительно $\arctg x$:

$4\arctg x - 3\pi + 6\arctg x = \pi$

Приведем подобные слагаемые:

$10\arctg x = \pi + 3\pi$

$10\arctg x = 4\pi$

$\arctg x = \frac{4\pi}{10} = \frac{2\pi}{5}$

Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Проверим, входит ли найденное значение в этот интервал. Так как $\frac{2\pi}{5} = 0.4\pi$, а $\frac{\pi}{2} = 0.5\pi$, то $-\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$. Условие выполняется.

Из полученного равенства находим $x$:

$x = \tg(\frac{2\pi}{5})$

Ответ: $x = \tg(\frac{2\pi}{5})$.

2) Дано уравнение $\arcctg(3x) = \arctg(3x) - \frac{\pi}{4}$.

Как и в предыдущем задании, используем тождество $\arctg(y) + \arcctg(y) = \frac{\pi}{2}$. В данном случае $y=3x$, поэтому:

$\arctg(3x) + \arcctg(3x) = \frac{\pi}{2}$

Выразим $\arcctg(3x)$:

$\arcctg(3x) = \frac{\pi}{2} - \arctg(3x)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{\pi}{2} - \arctg(3x) = \arctg(3x) - \frac{\pi}{4}$

Сгруппируем члены, содержащие $\arctg(3x)$, в правой части, а числовые значения — в левой:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \arctg(3x) + \arctg(3x)$

$\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\arctg(3x)$

$\frac{3\pi}{4} = 2\arctg(3x)$

$\arctg(3x) = \frac{3\pi}{8}$

Значение $\frac{3\pi}{8}$ принадлежит области значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{4\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} < \frac{4\pi}{8}$.

Из равенства $\arctg(3x) = \frac{3\pi}{8}$ находим $3x$:

$3x = \tg(\frac{3\pi}{8})$

Значение $\tg(\frac{3\pi}{8})$ можно вычислить. Так как $\frac{3\pi}{8} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{8} = 67.5^\circ$, можно использовать формулу половинного угла или тангенса двойного угла. Пусть $t = \tg(\frac{3\pi}{8})$. Тогда $\tg(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = \tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

По формуле тангенса двойного угла $\tg(2\alpha) = \frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$:

$-1 = \frac{2t}{1-t^2}$

$-(1-t^2) = 2t$

$t^2 - 1 = 2t$

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Поскольку угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти, его тангенс должен быть положительным. Следовательно, мы выбираем корень $t = 1 + \sqrt{2}$.

Таким образом, $\tg(\frac{3\pi}{8}) = 1 + \sqrt{2}$.

Возвращаемся к нашему уравнению:

$3x = 1 + \sqrt{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$

Ответ: $x = \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$.