Номер 18.11, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.11. Решите графически уравнение:

1) $ \operatorname{arctg}x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} x; $

2) $ \operatorname{arcctg}x = \frac{\pi}{4} x; $

3) $ \operatorname{arcctg}x = \frac{\pi}{2} - x; $

4) $ \operatorname{arctg}x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} x. $

1) Чтобы решить уравнение $arctgx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \operatorname{arctg}x$ и $y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x$.

Первая функция, $y = \operatorname{arctg}x$, является арктангенсом. Её область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Функция возрастает на всей области определения.

Вторая функция, $y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x$, — это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0; \frac{\pi}{2})$.
• Если $y=0$, то $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x = 0$, откуда $x=2$. Точка $(2; 0)$.

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения. Заметим, что функция $y = \operatorname{arctg}x$ возрастает, а функция $y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x$ убывает, следовательно, у них может быть не более одной точки пересечения.

Подберем возможное целочисленное решение. Проверим $x=1$:

Левая часть: $y = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Правая часть: $y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cdot 1 = \frac{2\pi - \pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Поскольку значения совпали, точка $(1; \frac{\pi}{4})$ является точкой пересечения графиков.

Ответ: $x=1$.

2) Чтобы решить уравнение $\operatorname{arcctg}x = \frac{\pi}{4}x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \operatorname{arcctg}x$ и $y = \frac{\pi}{4}x$.

Первая функция, $y = \operatorname{arcctg}x$, является арккотангенсом. Её область значений — интервал $(0; \pi)$. Функция убывает на всей области определения.

Вторая функция, $y = \frac{\pi}{4}x$, — это линейная функция, проходящая через начало координат. Её график — прямая с положительным угловым коэффициентом $\frac{\pi}{4}$.

Функция $y = \operatorname{arcctg}x$ убывает, а $y = \frac{\pi}{4}x$ возрастает, поэтому они могут пересечься не более одного раза.

Проверим значение при $x=1$:

Левая часть: $y = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Правая часть: $y = \frac{\pi}{4} \cdot 1 = \frac{\pi}{4}$.

Значения совпали, следовательно, графики пересекаются в точке $(1; \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $x=1$.

3) Чтобы решить уравнение $\operatorname{arcctg}x = \frac{\pi}{2} - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \operatorname{arcctg}x$ и $y = \frac{\pi}{2} - x$.

Первая функция, $y = \operatorname{arcctg}x$, — это убывающая функция с областью значений $(0; \pi)$. График проходит через точку $(0; \frac{\pi}{2})$.

Вторая функция, $y = \frac{\pi}{2} - x$, — это линейная функция, её график — прямая. Найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0; \frac{\pi}{2})$.
• Если $y=0$, то $x = \frac{\pi}{2}$. Точка $(\frac{\pi}{2}; 0)$.

Обе функции убывающие. Заметим, что обе они проходят через точку $(0; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что $x=0$ является решением уравнения. Проверим, есть ли другие решения, сравнив производные функций в этой точке.

Производная $y = \operatorname{arcctg}x$ равна $y' = -\frac{1}{1+x^2}$. При $x=0$, $y' = -1$.

Производная $y = \frac{\pi}{2} - x$ равна $y' = -1$.

Так как производные в точке $x=0$ равны, прямая $y = \frac{\pi}{2} - x$ является касательной к графику функции $y = \operatorname{arcctg}x$ в точке $(0; \frac{\pi}{2})$. График функции арккотангенс является выпуклым вниз при $x>0$ и выпуклым вверх при $x<0$, поэтому он будет лежать выше своей касательной во всех точках, кроме точки касания. Следовательно, других точек пересечения нет.

Ответ: $x=0$.

4) Чтобы решить уравнение $\operatorname{arctg}x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \operatorname{arctg}x$ и $y = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x$.

Первая функция, $y = \operatorname{arctg}x$, — возрастающая функция с областью значений $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Вторая функция, $y = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x$, — это линейная функция, её график — прямая. Найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(0; -\frac{\pi}{2})$.
• Если $y=0$, то $-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x = 0$, откуда $x=-2$. Точка $(-2; 0)$.

Функция $y = \operatorname{arctg}x$ возрастает, а $y = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x$ убывает, значит, у них может быть не более одной точки пересечения.

Проверим целочисленное значение, например, $x=-1$:

Левая часть: $y = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Правая часть: $y = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cdot (-1) = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.

Значения совпали, следовательно, графики пересекаются в точке $(-1; -\frac{\pi}{4})$.

Ответ: $x=-1$.