Номер 18.7, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.7.1)

1) $ \arccos(3x^2 - 10x + 2.5) = \frac{2\pi}{3} $;

2) $ \arcsin(3x^2 - 5x + 1) = \frac{\pi}{2} $;

3) $ \arccos(3 - x^2) = \pi $;

4) $ \arcsin(2.5 - x^2) = -\frac{\pi}{6} $.

1) Дано уравнение $arccos(3x^2 - 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$. При этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $0 \le b \le \pi$.

В данном уравнении $b = \frac{2\pi}{3}$, что удовлетворяет условию $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$.

Следовательно, мы можем записать: $3x^2 - 10x + 2,5 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

Вычислим значение косинуса: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Получаем квадратное уравнение: $3x^2 - 10x + 2,5 = -0,5$.

Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 - 10x + 2,5 + 0,5 = 0$, что равносильно $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Поскольку мы приравняли выражение под знаком арккосинуса к $-0,5$, а это значение находится в отрезке $[-1, 1]$, то оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $3; \frac{1}{3}$.

2) Дано уравнение $arcsin(3x^2 - 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$.

В данном уравнении $b = \frac{\pi}{2}$, что удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы можем записать: $3x^2 - 5x + 1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Вычислим значение синуса: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Получаем уравнение: $3x^2 - 5x + 1 = 1$.

Перенесем 1 в левую часть: $3x^2 - 5x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки: $x(3x - 5) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x_1 = 0$.

$3x - 5 = 0 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{3}$.

Поскольку мы приравняли выражение под знаком арксинуса к $1$, а это значение находится в отрезке $[-1, 1]$, то оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $0; \frac{5}{3}$.

3) Дано уравнение $arccos(3 - x^2) = \pi$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$, при $-1 \le a \le 1$ и $0 \le b \le \pi$.

Значение $b = \pi$ удовлетворяет условию для области значений арккосинуса.

Применяем определение: $3 - x^2 = \cos(\pi)$.

Вычисляем значение косинуса: $\cos(\pi) = -1$.

Получаем уравнение: $3 - x^2 = -1$.

Выразим $x^2$: $x^2 = 3 + 1 = 4$.

Отсюда находим корни: $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Выражение под знаком арккосинуса мы приравняли к $-1$, что удовлетворяет условию $-1 \le 3-x^2 \le 1$. Следовательно, найденные корни подходят.

Ответ: $-2; 2$.

4) Дано уравнение $arcsin(2,5 - x^2) = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$, при $-1 \le a \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$.

Значение $b = -\frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию для области значений арксинуса.

Применяем определение: $2,5 - x^2 = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Вычисляем значение синуса: $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Получаем уравнение: $2,5 - x^2 = -0,5$.

Выразим $x^2$: $x^2 = 2,5 + 0,5 = 3$.

Отсюда находим корни: $x = \pm\sqrt{3}$, то есть $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Выражение под знаком арксинуса мы приравняли к $-0,5$, что удовлетворяет условию $-1 \le 2,5-x^2 \le 1$. Следовательно, найденные корни подходят.

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.