Номер 18.1, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (18.1–18.6):

18.1.1) $arcsin2x = \frac{\pi}{3}$;

2) $arcsin3x = \frac{\pi}{4}$;

3) $arcsin2x = 1$;

4) $arcsin2x = 0$.

18.1.1) Дано уравнение $arcsin(2x) = \frac{\pi}{3}$. По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то это эквивалентно $sin(b) = a$ при условии, что значение $b$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В данном случае, $\frac{\pi}{3}$ находится в этом диапазоне, поэтому уравнение имеет решение. Применим операцию синуса к обеим частям уравнения: $sin(arcsin(2x)) = sin(\frac{\pi}{3})$. Это упрощается до $2x = sin(\frac{\pi}{3})$. Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Аргумент арксинуса, $2x$, должен находиться в пределах от -1 до 1. $2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, что удовлетворяет условию $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$. Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

2) Дано уравнение $arcsin(3x) = \frac{\pi}{4}$. Значение $\frac{\pi}{4}$ находится в области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому решение существует. Применим синус к обеим частям уравнения: $sin(arcsin(3x)) = sin(\frac{\pi}{4})$. Упрощая, получаем $3x = sin(\frac{\pi}{4})$. Известно, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3: $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$. Проверим, что аргумент арксинуса $3x$ лежит в отрезке $[-1, 1]$. $3x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, что удовлетворяет условию $-1 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$. Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

3) Дано уравнение $arcsin(2x) = 1$. Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, значение 1 (один радиан) входит в этот отрезок, следовательно, уравнение имеет решение. Применим синус к обеим частям: $sin(arcsin(2x)) = sin(1)$. Это дает нам $2x = sin(1)$. Разделим обе части на 2: $x = \frac{sin(1)}{2}$. Аргумент арксинуса $2x$ должен лежать в отрезке $[-1, 1]$. Так как значение $sin(1)$ находится в этом отрезке, решение является корректным. Ответ: $x = \frac{sin(1)}{2}$.

4) Дано уравнение $arcsin(2x) = 0$. Значение 0 принадлежит области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Применим синус к обеим частям уравнения: $sin(arcsin(2x)) = sin(0)$. Упрощая, получаем $2x = sin(0)$. Так как $sin(0) = 0$, то $2x = 0$. Отсюда следует, что $x = 0$. Проверим, что аргумент $2x$ находится в отрезке $[-1, 1]$. При $x=0$, $2x=0$, что удовлетворяет условию $-1 \le 0 \le 1$. Ответ: $x = 0$.