Номер 17.22, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.22. Постройте график функции:

1) $y = 2\sin\frac{x}{2}$; 2) $y = 2\cos\left(\frac{x}{2} - \pi\right)$; 3) $y = \mathrm{tg}\frac{x}{2}$; 4) $y = \mathrm{ctg}\frac{3x}{2}$.

1) $y = 2\sin\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = 2\sin\frac{x}{2}$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Построение графика $y = \sin\frac{x}{2}$.

Этот график получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза. Коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Период функции $T$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=\frac{1}{2}$. Таким образом, новый период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Все абсциссы точек графика $y = \sin x$ умножаются на 2. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в точку $(\pi, 1)$, точка $(\pi, 0)$ переходит в $(2\pi, 0)$.

2. Построение графика $y = 2\sin\frac{x}{2}$.

Этот график получается из графика $y = \sin\frac{x}{2}$ путем его растяжения вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 2 раза. Множитель 2 перед функцией означает, что амплитуда колебаний равна 2. Все ординаты точек графика $y = \sin\frac{x}{2}$ умножаются на 2. Область значений функции будет $[-2, 2]$. Например, точка $(\pi, 1)$ переходит в точку $(\pi, 2)$, точка $(3\pi, -1)$ переходит в $(3\pi, -2)$.

Основные свойства функции $y = 2\sin\frac{x}{2}$:

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = [-2, 2]$.

- Период: $T = 4\pi$.

- Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $\sin\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

- Точки максимума: $y=2$ при $\sin\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

- Точки минимума: $y=-2$ при $\sin\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = -\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = 2\sin\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \sin x$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Ox$ и растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$. Период функции равен $4\pi$, амплитуда равна 2.

2) $y = 2\cos(\frac{x}{2} - \pi)$

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos\alpha$.

$y = 2\cos(\frac{x}{2} - \pi) = -2\cos\frac{x}{2}$.

Теперь построим график функции $y = -2\cos\frac{x}{2}$ путем преобразований графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Построение графика $y = \cos\frac{x}{2}$.

График получается из $y = \cos x$ растяжением вдоль оси $Ox$ в 2 раза. Период увеличивается в 2 раза и становится равным $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

2. Построение графика $y = 2\cos\frac{x}{2}$.

График получается из $y = \cos\frac{x}{2}$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Амплитуда становится равной 2. Область значений $[-2, 2]$.

3. Построение графика $y = -2\cos\frac{x}{2}$.

График получается из $y = 2\cos\frac{x}{2}$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

Основные свойства функции $y = -2\cos\frac{x}{2}$:

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = [-2, 2]$.

- Период: $T = 4\pi$.

- Нули функции: $\cos\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

- Точки максимума: $y=2$ при $\cos\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

- Точки минимума: $y=-2$ при $\cos\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 2\pi n \Rightarrow x = 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = 2\cos(\frac{x}{2} - \pi)$ совпадает с графиком функции $y = -2\cos\frac{x}{2}$. Он получается из графика $y = \cos x$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Ox$, растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$ и последующим отражением относительно оси $Ox$. Период $T=4\pi$, амплитуда $A=2$.

3) $y = \tg\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = \tg\frac{x}{2}$ выполним преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

График $y = \tg\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \tg x$ растяжением вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза.

1. Период функции.

Период базовой функции $y = \tg x$ равен $\pi$. Для функции $y = \tg\frac{x}{2}$ коэффициент $k = \frac{1}{2}$, поэтому новый период $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

2. Вертикальные асимптоты.

Асимптоты графика $y = \tg x$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для функции $y = \tg\frac{x}{2}$ асимптоты будут там, где аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Главная ветвь графика, которая для $y=\tg x$ находится между асимптотами $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$, для $y = \tg\frac{x}{2}$ будет находиться между асимптотами $x=-\pi$ и $x=\pi$.

3. Нули функции.

$\tg\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \tg\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \tg x$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Ox$. Период функции равен $2\pi$. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \ctg\frac{3x}{2}$

Для построения графика функции $y = \ctg\frac{3x}{2}$ выполним преобразование графика базовой функции $y = \ctg x$.

График $y = \ctg\frac{3x}{2}$ получается из графика $y = \ctg x$ сжатием вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в $\frac{3}{2}$ раза.

1. Период функции.

Период базовой функции $y = \ctg x$ равен $\pi$. Для функции $y = \ctg\frac{3x}{2}$ коэффициент $k = \frac{3}{2}$, поэтому новый период $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{3/2} = \frac{2\pi}{3}$.

2. Вертикальные асимптоты.

Асимптоты графика $y = \ctg x$ находятся в точках $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для функции $y = \ctg\frac{3x}{2}$ асимптоты будут там, где аргумент котангенса равен $\pi n$:

$\frac{3x}{2} = \pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Главная ветвь графика, которая для $y=\ctg x$ находится между асимптотами $x=0$ и $x=\pi$, для $y = \ctg\frac{3x}{2}$ будет находиться между асимптотами $x=0$ и $x=\frac{2\pi}{3}$.

3. Нули функции.

$\ctg\frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \ctg\frac{3x}{2}$ получается из графика $y = \ctg x$ сжатием в $\frac{3}{2}$ раза вдоль оси $Ox$. Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.