Номер 17.16, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.16. 1) $ \arccos(\cos 1,1); $

2) $ \arccos(\cos 2); $

3) $ \arccos(\cos 6); $

4) $ \arccos(\cos 20). $

1) arccos(cos1,1)

По определению, функция арккосинус $arccos(y)$ возвращает угол $x$ в диапазоне $[0; \pi]$ такой, что $cos(x) = y$. Следовательно, тождество $arccos(cos(x)) = x$ справедливо только для тех $x$, которые принадлежат отрезку $[0; \pi]$. В данном случае $x = 1,1$. Оценим, попадает ли это значение в указанный диапазон. Приблизительное значение $\pi \approx 3,14159$. Неравенство $0 \le 1,1 \le \pi$ является верным. Поэтому, $arccos(cos(1,1)) = 1,1$.

Ответ: $1,1$.

2) arccos(cos2)

Как и в предыдущем примере, мы должны проверить, принадлежит ли аргумент косинуса, $x=2$, отрезку $[0; \pi]$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем $0 \le 2 \le \pi$. Так как условие выполняется, то $arccos(cos(2)) = 2$.

Ответ: $2$.

3) arccos(cos6)

Аргумент косинуса $x = 6$ не принадлежит отрезку $[0; \pi]$, так как $6 > \pi \approx 3,14159$. Нам необходимо найти такое число $y \in [0; \pi]$, для которого выполняется равенство $cos(y) = cos(6)$. Воспользуемся свойствами функции косинус: она является четной ($cos(-a) = cos(a)$) и периодической с периодом $2\pi$ ($cos(a) = cos(a + 2k\pi)$, где $k$ — любое целое число). Из этих свойств следует, что решения уравнения $cos(y) = cos(x)$ можно записать в виде $y = \pm x + 2k\pi$. Нам нужно найти такое целое число $k$ и выбрать знак, чтобы значение $y$ попало в отрезок $[0; \pi]$. Подставим $x = 6$: $y = \pm 6 + 2k\pi$. Рассмотрим вариант $y = -6 + 2k\pi$. Чтобы $y$ было близко к отрезку $[0; \pi]$, значение $2k\pi$ должно быть близко к 6. Так как $2\pi \approx 6,283$, подходящим значением является $k=1$. При $k=1$ получаем: $y = 2\pi - 6$. Оценим полученное значение: $y = 2\pi - 6 \approx 6,283 - 6 = 0,283$. Значение $0,283$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Таким образом, мы нашли искомое значение.

Ответ: $2\pi - 6$.

4) arccos(cos20)

Аргумент косинуса $x = 20$ не принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Мы ищем такое число $y \in [0; \pi]$, что $cos(y) = cos(20)$. Общая формула для $y$: $y = \pm 20 + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Нам нужно найти $k$ и знак, при которых $0 \le y \le \pi$. Найдем, какой из "оборотов" ($2k\pi$) находится ближе всего к 20. Для этого разделим 20 на $2\pi$: $20 / (2\pi) = 10/\pi \approx 10 / 3,14159 \approx 3,18$. Это означает, что 20 находится близко к $3 \times (2\pi) = 6\pi$. Проверим вариант $y = 20 - 2k\pi$. При $k=3$ получаем: $y = 20 - 6\pi$. Оценим это значение: $y = 20 - 6\pi \approx 20 - 6 \times 3,14159 = 20 - 18,84954 = 1,15046$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le 1,15046 \le \pi$, значит, это правильный ответ. Для полноты решения можно проверить другие варианты. Например, $y = -20 + 2k\pi$. При $k=3$ $y = -20 + 6\pi \approx -1,15$, что не входит в $[0; \pi]$. При $k=4$ $y = -20+8\pi \approx -20+25,13 = 5,13$, что больше $\pi$. Значит, единственное подходящее решение — это $20 - 6\pi$.

Ответ: $20 - 6\pi$.