Номер 17.19, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.19. Вычислите:

1) $tg(2arccos \frac{12}{13});$

2) $tg(arcsin \frac{4}{5} + \frac{3\pi}{2});$

3) $sin(2.5\pi + arctg \frac{3}{4}).$

1) Обозначим $α = \arccos\frac{12}{13}$. По определению арккосинуса, $\cos(α) = \frac{12}{13}$ и $0 \le α \le π$. Так как $\frac{12}{13} > 0$, то угол $α$ находится в первой четверти, то есть $0 \le α \le \frac{π}{2}$.

Нам необходимо вычислить $\text{tg}(2α)$. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2α) = \frac{2\text{tg}(α)}{1 - \text{tg}^2(α)} $

Для этого сначала найдем $\text{tg}(α)$. Из основного тригонометрического тождества $\text{sin}^2(α) + \text{cos}^2(α) = 1$ найдем $\text{sin}(α)$: $ \text{sin}^2(α) = 1 - \text{cos}^2(α) = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Поскольку $0 \le α \le \frac{π}{2}$, $\text{sin}(α)$ неотрицателен, поэтому $\text{sin}(α) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$. Теперь можем найти $\text{tg}(α)$: $ \text{tg}(α) = \frac{\text{sin}(α)}{\text{cos}(α)} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} $

Подставим найденное значение $\text{tg}(α)$ в формулу для тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2α) = \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1 - (\frac{5}{12})^2} = \frac{\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{144 - 25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{5 \cdot 24}{119} = \frac{120}{119} $

Ответ: $ \frac{120}{119} $.

2) Обозначим $β = \arcsin\frac{4}{5}$. По определению арксинуса, $\text{sin}(β) = \frac{4}{5}$ и $-\frac{π}{2} \le β \le \frac{π}{2}$. Так как $\frac{4}{5} > 0$, то угол $β$ находится в первой четверти: $0 \le β \le \frac{π}{2}$.

Нам нужно вычислить $\text{tg}(\arcsin\frac{4}{5} + \frac{3π}{2}) = \text{tg}(β + \frac{3π}{2})$. Воспользуемся формулой приведения $\text{tg}(x + \frac{3π}{2}) = -\text{ctg}(x)$. Следовательно, $\text{tg}(β + \frac{3π}{2}) = -\text{ctg}(β)$.

Найдем $\text{ctg}(β)$. Мы знаем, что $\text{ctg}(β) = \frac{\text{cos}(β)}{\text{sin}(β)}$. Найдем $\text{cos}(β)$ из основного тригонометрического тождества: $ \text{cos}^2(β) = 1 - \text{sin}^2(β) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $

Поскольку $0 \le β \le \frac{π}{2}$, $\text{cos}(β)$ неотрицателен, поэтому $\text{cos}(β) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$. Теперь найдем $\text{ctg}(β)$: $ \text{ctg}(β) = \frac{\text{cos}(β)}{\text{sin}(β)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} $

Таким образом, искомое значение равно: $ \text{tg}(β + \frac{3π}{2}) = -\text{ctg}(β) = -\frac{3}{4} $

Ответ: $ -\frac{3}{4} $.

3) Обозначим $γ = \text{arctg}\frac{3}{4}$. По определению арктангенса, $\text{tg}(γ) = \frac{3}{4}$ и $-\frac{π}{2} < γ < \frac{π}{2}$. Так как $\frac{3}{4} > 0$, то угол $γ$ находится в первой четверти: $0 < γ < \frac{π}{2}$.

Нам нужно вычислить $\text{sin}(2,5π + \text{arctg}\frac{3}{4}) = \text{sin}(2,5π + γ)$. Преобразуем аргумент синуса: $2,5π = 2π + 0,5π = 2π + \frac{π}{2}$. $ \text{sin}(2,5π + γ) = \text{sin}(2π + \frac{π}{2} + γ) $

Используя периодичность синуса ($\text{sin}(x + 2π) = \text{sin}(x)$), получаем: $ \text{sin}(2π + \frac{π}{2} + γ) = \text{sin}(\frac{π}{2} + γ) $

Теперь воспользуемся формулой приведения $\text{sin}(\frac{π}{2} + x) = \text{cos}(x)$. Таким образом, $\text{sin}(\frac{π}{2} + γ) = \text{cos}(γ)$.

Найдем $\text{cos}(γ)$, зная, что $\text{tg}(γ) = \frac{3}{4}$. Используем тождество $1 + \text{tg}^2(γ) = \frac{1}{\text{cos}^2(γ)}$: $ \text{cos}^2(γ) = \frac{1}{1 + \text{tg}^2(γ)} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25} $

Поскольку $0 < γ < \frac{π}{2}$, $\text{cos}(γ)$ положителен, поэтому $\text{cos}(γ) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Следовательно, искомое значение равно $\frac{4}{5}$.

Ответ: $ \frac{4}{5} $.