Номер 17.20, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.20. Найдите область определения функции:

1) $arccos(x + 2) - arcsin(2x);$

2) $arccos(2x - 1) - arcsin(3x + 1);$

3) $arctg(x + 2) - arcsin(3x);$

4) $arcctg(2x - 1) - arctg(-3x).$

1) Область определения функции $y = \operatorname{arccos}(x + 2) - \arcsin(2x)$ находится как пересечение областей определения каждого из слагаемых: $y_1 = \operatorname{arccos}(x+2)$ и $y_2 = \arcsin(2x)$.

Область определения функций арккосинус и арксинус есть отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, аргументы этих функций должны принадлежать этому отрезку.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} -1 \le x+2 \le 1 \\ -1 \le 2x \le 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

1) $-1 \le x+2 \le 1 \implies -1-2 \le x \le 1-2 \implies -3 \le x \le -1$. Решение: $x \in [-3, -1]$.

2) $-1 \le 2x \le 1 \implies -1/2 \le x \le 1/2$. Решение: $x \in [-0.5, 0.5]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $[-3, -1] \cap [-0.5, 0.5]$.

Эти два отрезка не имеют общих точек. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$

2) Найдем область определения функции $y = \operatorname{arccos}(2x - 1) - \arcsin(3x + 1)$.

Она определяется системой неравенств, исходя из областей определения арккосинуса и арксинуса:

$\begin{cases} -1 \le 2x-1 \le 1 \\ -1 \le 3x+1 \le 1 \end{cases}$

Решим эту систему:

1) $-1 \le 2x-1 \le 1 \implies -1+1 \le 2x \le 1+1 \implies 0 \le 2x \le 2 \implies 0 \le x \le 1$. Решение: $x \in [0, 1]$.

2) $-1 \le 3x+1 \le 1 \implies -1-1 \le 3x \le 1-1 \implies -2 \le 3x \le 0 \implies -2/3 \le x \le 0$. Решение: $x \in [-2/3, 0]$.

Найдем пересечение решений: $[0, 1] \cap [-2/3, 0]$.

Единственной общей точкой этих двух отрезков является число 0.

Ответ: $\{0\}$

3) Найдем область определения функции $y = \operatorname{arctg}(x + 2) - \arcsin(3x)$.

Функция состоит из двух слагаемых: $y_1 = \operatorname{arctg}(x + 2)$ и $y_2 = \arcsin(3x)$.

1) Область определения арктангенса - все действительные числа. Поэтому выражение $\operatorname{arctg}(x + 2)$ определено для любого $x \in \mathbb{R}$.

2) Область определения арксинуса - отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, должно выполняться условие:

$-1 \le 3x \le 1$

$-1/3 \le x \le 1/3$. Решение: $x \in [-1/3, 1/3]$.

Область определения исходной функции - это пересечение областей определения ее слагаемых: $\mathbb{R} \cap [-1/3, 1/3]$.

Пересечением является отрезок $[-1/3, 1/3]$.

Ответ: $[-1/3, 1/3]$

4) Найдем область определения функции $y = \operatorname{arcctg}(2x - 1) - \operatorname{arctg}(-3x)$.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

1) Область определения функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg}(u)$ - все действительные числа, $u \in \mathbb{R}$. Выражение $2x-1$ может принимать любые действительные значения, поэтому $\operatorname{arcctg}(2x - 1)$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

2) Область определения функции арктангенс $y = \operatorname{arctg}(v)$ - также все действительные числа, $v \in \mathbb{R}$. Выражение $-3x$ может принимать любые действительные значения, поэтому $\operatorname{arctg}(-3x)$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку оба слагаемых определены для любого действительного числа $x$, область определения всей функции является пересечением множеств всех действительных чисел, то есть само множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$