Номер 17.18, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.18. Вычислите значение выражения:

1) $\sin\left(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{1}{5}\right);$

2) $\cos\left(\arcsin\frac{1}{4} - \arccos\frac{1}{5}\right);$

3) $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}2 + \operatorname{arctg}4);$

4) $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}4 + \operatorname{arcctg}5).$

1) Для вычисления значения выражения $sin(arcsin\frac{1}{3} + arccos\frac{1}{5})$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.

Пусть $\alpha = arcsin\frac{1}{3}$ и $\beta = arccos\frac{1}{5}$.

По определению арксинуса и арккосинуса:

$sin\alpha = sin(arcsin\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$

$cos\beta = cos(arccos\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $cos\alpha$ и $sin\beta$.

Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, зная, что $\alpha = arcsin\frac{1}{3}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, на котором косинус неотрицателен, получаем:

$cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Аналогично, зная, что $\beta = arccos\frac{1}{5}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, на котором синус неотрицателен, получаем:

$sin\beta = \sqrt{1 - cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Подставляем все значения в формулу синуса суммы:

$sin(arcsin\frac{1}{3} + arccos\frac{1}{5}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{1}{15} + \frac{4\sqrt{12}}{15} = \frac{1 + 4 \cdot 2\sqrt{3}}{15} = \frac{1 + 8\sqrt{3}}{15}$.

Ответ: $\frac{1 + 8\sqrt{3}}{15}$.

2) Для вычисления значения выражения $cos(arcsin\frac{1}{4} - arccos\frac{1}{5})$ воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Пусть $\alpha = arcsin\frac{1}{4}$ и $\beta = arccos\frac{1}{5}$.

По определению:

$sin\alpha = sin(arcsin\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$

$cos\beta = cos(arccos\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $cos\alpha$ и $sin\beta$.

Угол $\alpha = arcsin\frac{1}{4}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, где $cos\alpha \ge 0$.

$cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Угол $\beta = arccos\frac{1}{5}$ находится в промежутке $[0; \pi]$, где $sin\beta \ge 0$.

$sin\beta = \sqrt{1 - cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Подставляем значения в формулу косинуса разности:

$cos(arcsin\frac{1}{4} - arccos\frac{1}{5}) = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{20} + \frac{2\sqrt{6}}{20} = \frac{\sqrt{15} + 2\sqrt{6}}{20}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15} + 2\sqrt{6}}{20}$.

3) Для вычисления значения выражения $tg(arctg2 + arctg4)$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$.

Пусть $\alpha = arctg2$ и $\beta = arctg4$.

По определению арктангенса:

$tg\alpha = tg(arctg2) = 2$

$tg\beta = tg(arctg4) = 4$

Подставляем значения в формулу:

$tg(arctg2 + arctg4) = \frac{2 + 4}{1 - 2 \cdot 4} = \frac{6}{1 - 8} = \frac{6}{-7} = -\frac{6}{7}$.

Ответ: $-\frac{6}{7}$.

4) Для вычисления значения выражения $ctg(arcctg4 + arcctg5)$ воспользуемся формулой котангенса суммы: $ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1}{ctg\beta + ctg\alpha}$.

Пусть $\alpha = arcctg4$ и $\beta = arcctg5$.

По определению арккотангенса:

$ctg\alpha = ctg(arcctg4) = 4$

$ctg\beta = ctg(arcctg5) = 5$

Подставляем значения в формулу:

$ctg(arcctg4 + arcctg5) = \frac{4 \cdot 5 - 1}{5 + 4} = \frac{20 - 1}{9} = \frac{19}{9}$.

Ответ: $\frac{19}{9}$.