Номер 17.15, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (17.15–17.17):

17.15. 1) $ \arcsin(\sin 1.2) $; 2) $ \arcsin(\sin 2) $

3) $ \arcsin(\sin 6) $; 4) $ \arcsin(\sin 20) $

Для нахождения значения выражения $arcsin(sin(x))$ необходимо помнить, что область значений функции арксинус — это отрезок $[-π/2, π/2]$. Тождество $arcsin(sin(x)) = x$ справедливо только в том случае, если $x$ принадлежит этому отрезку. Если $x$ находится за пределами этого отрезка, мы должны найти такой эквивалентный угол $y$, который лежит в диапазоне $[-π/2, π/2]$ и для которого $sin(y) = sin(x)$. Это можно сделать, используя свойства функции синус: $sin(x) = sin(x + 2πk)$ и $sin(x) = sin(π - x)$ для любого целого $k$. Комбинируя их, мы получаем два семейства решений для $sin(y) = sin(x)$: $y = x + 2πk$ и $y = π - x + 2πk$. Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы $y$ попадал в требуемый диапазон $[-π/2, π/2]$. Будем использовать приближение $π ≈ 3,14159$, следовательно $π/2 ≈ 1,5708$.

1) arcsin(sin1,2)

Значение $x = 1,2$ необходимо сравнить с областью значений функции арксинус, которая равна $[-π/2, π/2]$. Приближенно $π/2 ≈ 1,57$. Проверяем неравенство: $-1,57 ≤ 1,2 ≤ 1,57$. Это неравенство верно. Поскольку аргумент $1,2$ находится в пределах области главных значений функции арксинус, тождество $arcsin(sin(x)) = x$ применимо напрямую. Следовательно, $arcsin(sin1,2) = 1,2$.

Ответ: $1,2$

2) arcsin(sin2)

Значение $x = 2$ находится вне отрезка $[-π/2, π/2]$, так как $2 > π/2 ≈ 1,57$. Нам нужно найти число $y$ из отрезка $[-π/2, π/2]$ такое, что $sin(y) = sin(2)$. Воспользуемся тождеством $sin(x) = sin(π - x)$. Рассмотрим $y = π - 2$. Проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[-π/2, π/2]$. $π - 2 ≈ 3,14 - 2 = 1,14$. Неравенство $-π/2 ≤ π - 2 ≤ π/2$ является верным, так как $-1,57 ≤ 1,14 ≤ 1,57$. Таким образом, $arcsin(sin2) = arcsin(sin(π - 2)) = π - 2$.

Ответ: $π - 2$

3) arcsin(sin6)

Значение $x = 6$ находится вне отрезка $[-π/2, π/2]$, так как $6 > π/2 ≈ 1,57$. Нам нужно найти число $y$ из отрезка $[-π/2, π/2]$ такое, что $sin(y) = sin(6)$. Будем искать $y$ в виде $y = 6 + 2πk$ или $y = π - 6 + 2πk$ для некоторого целого $k$. Рассмотрим первую форму: $y = 6 + 2πk$. Найдем такое целое $k$, что $-π/2 ≤ 6 + 2πk ≤ π/2$. Вычтем 6 из всех частей: $-6 - π/2 ≤ 2πk ≤ -6 + π/2$. Разделим на $2π$: $-3/π - 1/4 ≤ k ≤ -3/π + 1/4$. Используя $π ≈ 3,14$, получаем $-3/3,14 - 0,25 ≤ k ≤ -3/3,14 + 0,25$, что равносильно $-0,955 - 0,25 ≤ k ≤ -0,955 + 0,25$, или $-1,205 ≤ k ≤ -0,705$. Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = -1$. При $k = -1$ получаем $y = 6 + 2π(-1) = 6 - 2π$. Это значение $6 - 2π ≈ 6 - 6,28 = -0,28$ действительно принадлежит отрезку $[-1,57, 1,57]$. Следовательно, $arcsin(sin6) = 6 - 2π$.

Ответ: $6 - 2π$

4) arcsin(sin20)

Значение $x = 20$ находится вне отрезка $[-π/2, π/2]$. Нам нужно найти число $y$ из отрезка $[-π/2, π/2]$ такое, что $sin(y) = sin(20)$. Будем искать $y$ в виде $y = 20 + 2πk$ или $y = π - 20 + 2πk$ для некоторого целого $k$. Рассмотрим первую форму: $y = 20 + 2πk$. Найдем такое целое $k$, что $-π/2 ≤ 20 + 2πk ≤ π/2$. Вычтем 20 из всех частей: $-20 - π/2 ≤ 2πk ≤ -20 + π/2$. Разделим на $2π$: $-10/π - 1/4 ≤ k ≤ -10/π + 1/4$. Используя $π ≈ 3,14$, получаем $-10/3,14 - 0,25 ≤ k ≤ -10/3,14 + 0,25$, что равносильно $-3,18 - 0,25 ≤ k ≤ -3,18 + 0,25$, или $-3,43 ≤ k ≤ -2,93$. Единственное целое число $k$ в этом интервале — это $k = -3$. При $k = -3$ получаем $y = 20 + 2π(-3) = 20 - 6π$. Это значение $20 - 6π ≈ 20 - 6 · 3,1416 = 20 - 18,8496 = 1,1504$ действительно принадлежит отрезку $[-1,57, 1,57]$. Проверим вторую форму: $y = π - 20 + 2πk$. Нам нужно, чтобы $-π/2 ≤ π - 20 + 2πk ≤ π/2$. Прибавим $20 - π$ ко всем частям: $20 - 3π/2 ≤ 2πk ≤ 20 - π/2$. Разделим на $2π$: $10/π - 3/4 ≤ k ≤ 10/π - 1/4$. Это $3,18 - 0,75 ≤ k ≤ 3,18 - 0,25$, или $2,43 ≤ k ≤ 2,93$. В этом интервале нет целых чисел $k$. Таким образом, единственное подходящее значение — это $20 - 6π$. Следовательно, $arcsin(sin20) = 20 - 6π$.

Ответ: $20 - 6π$