Номер 17.15, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (17.15–17.17):

17.15. 1) $ \arcsin(\sin 1.2) $; 2) $ \arcsin(\sin 2) $

3) $ \arcsin(\sin 6) $; 4) $ \arcsin(\sin 20) $

Для нахождения значения выражения `arcsin(sin(x))` необходимо помнить, что область значений функции арксинус — это отрезок `[-π/2, π/2]`. Тождество `arcsin(sin(x)) = x` справедливо только в том случае, если `x` принадлежит этому отрезку. Если `x` находится за пределами этого отрезка, мы должны найти такой эквивалентный угол `y`, который лежит в диапазоне `[-π/2, π/2]` и для которого `sin(y) = sin(x)`. Это можно сделать, используя свойства функции синус: `sin(x) = sin(x + 2πk)` и `sin(x) = sin(π - x)` для любого целого `k`. Комбинируя их, мы получаем два семейства решений для `sin(y) = sin(x)`: `y = x + 2πk` и `y = π - x + 2πk`. Нам нужно найти такое целое число `k`, чтобы `y` попадал в требуемый диапазон `[-π/2, π/2]`. Будем использовать приближение `π ≈ 3,14159`, следовательно `π/2 ≈ 1,5708`.

1) arcsin(sin1,2)

Значение `x = 1,2` необходимо сравнить с областью значений функции арксинус, которая равна `[-π/2, π/2]`. Приближенно `π/2 ≈ 1,57`. Проверяем неравенство: `-1,57 ≤ 1,2 ≤ 1,57`. Это неравенство верно. Поскольку аргумент `1,2` находится в пределах области главных значений функции арксинус, тождество `arcsin(sin(x)) = x` применимо напрямую. Следовательно, `arcsin(sin1,2) = 1,2`.

Ответ: $1,2$

2) arcsin(sin2)

Значение `x = 2` находится вне отрезка `[-π/2, π/2]`, так как `2 > π/2 ≈ 1,57`. Нам нужно найти число `y` из отрезка `[-π/2, π/2]` такое, что `sin(y) = sin(2)`. Воспользуемся тождеством `sin(x) = sin(π - x)`. Рассмотрим `y = π - 2`. Проверим, принадлежит ли это значение отрезку `[-π/2, π/2]`. `π - 2 ≈ 3,14 - 2 = 1,14`. Неравенство `-π/2 ≤ π - 2 ≤ π/2` является верным, так как `-1,57 ≤ 1,14 ≤ 1,57`. Таким образом, `arcsin(sin2) = arcsin(sin(π - 2)) = π - 2`.

Ответ: $π - 2$

3) arcsin(sin6)

Значение `x = 6` находится вне отрезка `[-π/2, π/2]`, так как `6 > π/2 ≈ 1,57`. Нам нужно найти число `y` из отрезка `[-π/2, π/2]` такое, что `sin(y) = sin(6)`. Будем искать `y` в виде `y = 6 + 2πk` или `y = π - 6 + 2πk` для некоторого целого `k`. Рассмотрим первую форму: `y = 6 + 2πk`. Найдем такое целое `k`, что `-π/2 ≤ 6 + 2πk ≤ π/2`. Вычтем 6 из всех частей: `-6 - π/2 ≤ 2πk ≤ -6 + π/2`. Разделим на `2π`: `-3/π - 1/4 ≤ k ≤ -3/π + 1/4`. Используя `π ≈ 3,14`, получаем `-3/3,14 - 0,25 ≤ k ≤ -3/3,14 + 0,25`, что равносильно `-0,955 - 0,25 ≤ k ≤ -0,955 + 0,25`, или `-1,205 ≤ k ≤ -0,705`. Единственное целое число `k` в этом интервале — это `k = -1`. При `k = -1` получаем `y = 6 + 2π(-1) = 6 - 2π`. Это значение `6 - 2π ≈ 6 - 6,28 = -0,28` действительно принадлежит отрезку `[-1,57, 1,57]`. Следовательно, `arcsin(sin6) = 6 - 2π`.

Ответ: $6 - 2π$

4) arcsin(sin20)

Значение `x = 20` находится вне отрезка `[-π/2, π/2]`. Нам нужно найти число `y` из отрезка `[-π/2, π/2]` такое, что `sin(y) = sin(20)`. Будем искать `y` в виде `y = 20 + 2πk` или `y = π - 20 + 2πk` для некоторого целого `k`. Рассмотрим первую форму: `y = 20 + 2πk`. Найдем такое целое `k`, что `-π/2 ≤ 20 + 2πk ≤ π/2`. Вычтем 20 из всех частей: `-20 - π/2 ≤ 2πk ≤ -20 + π/2`. Разделим на `2π`: `-10/π - 1/4 ≤ k ≤ -10/π + 1/4`. Используя `π ≈ 3,14`, получаем `-10/3,14 - 0,25 ≤ k ≤ -10/3,14 + 0,25`, что равносильно `-3,18 - 0,25 ≤ k ≤ -3,18 + 0,25`, или `-3,43 ≤ k ≤ -2,93`. Единственное целое число `k` в этом интервале — это `k = -3`. При `k = -3` получаем `y = 20 + 2π(-3) = 20 - 6π`. Это значение `20 - 6π ≈ 20 - 6 · 3,1416 = 20 - 18,8496 = 1,1504` действительно принадлежит отрезку `[-1,57, 1,57]`. Проверим вторую форму: `y = π - 20 + 2πk`. Нам нужно, чтобы `-π/2 ≤ π - 20 + 2πk ≤ π/2`. Прибавим `20 - π` ко всем частям: `20 - 3π/2 ≤ 2πk ≤ 20 - π/2`. Разделим на `2π`: `10/π - 3/4 ≤ k ≤ 10/π - 1/4`. Это `3,18 - 0,75 ≤ k ≤ 3,18 - 0,25`, или `2,43 ≤ k ≤ 2,93`. В этом интервале нет целых чисел `k`. Таким образом, единственное подходящее значение — это `20 - 6π`. Следовательно, `arcsin(sin20) = 20 - 6π`.

Ответ: $20 - 6π$