Номер 17.13, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.13. Может ли $\operatorname{arcctg}x$ принимать значение:

1) 0;

2) 1,4;

3) $ -\frac{\pi}{3} $;

4) $ -\frac{\pi}{2} $;

5) -1,7;

6) 1,2?

Для решения этой задачи необходимо знать область значений функции арккотангенс. Функция $y = \text{arcctg}(x)$ определена для всех действительных чисел $x$ (область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$), а её область значений — это интервал $E(y) = (0; \pi)$.

Это означает, что любое значение, которое может принимать $\text{arcctg}(x)$, должно быть строго больше 0 и строго меньше $\pi$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Проверим каждое из предложенных значений:

1) 0;

Значение 0 является нижней границей области значений $(0; \pi)$, но не входит в нее, так как интервал открытый. Функция $\text{arcctg}(x)$ может сколь угодно близко приближаться к 0 (при $x \to +\infty$), но никогда не достигает этого значения. Следовательно, $\text{arcctg}(x)$ не может быть равен 0.

Ответ: нет.

2) 1,4;

Проверим, находится ли значение 1,4 внутри интервала $(0; \pi)$. Так как $0 < 1,4$ и $1,4 < \pi$ (поскольку $\pi \approx 3,14$), то неравенство $0 < 1,4 < \pi$ верно. Следовательно, существует такое значение $x$, что $\text{arcctg}(x) = 1,4$.

Ответ: да.

3) $-\frac{\pi}{3}$;

Значение $-\frac{\pi}{3}$ является отрицательным числом. Область значений функции $\text{arcctg}(x)$ — это интервал $(0; \pi)$, который содержит только положительные числа. Следовательно, $\text{arcctg}(x)$ не может принимать отрицательные значения.

Ответ: нет.

4) $-\frac{\pi}{2}$;

Аналогично предыдущему пункту, значение $-\frac{\pi}{2}$ отрицательное. Оно не попадает в интервал $(0; \pi)$.

Ответ: нет.

5) -1,7;

Значение -1,7 также является отрицательным и не может быть значением функции $\text{arcctg}(x)$, так как все её значения лежат в интервале $(0; \pi)$.

Ответ: нет.

6) 1,2?

Проверим, принадлежит ли значение 1,2 интервалу $(0; \pi)$. Неравенство $0 < 1,2 < \pi$ является верным, так как $1,2 < 3,14159...$. Это означает, что существует такое $x$, для которого $\text{arcctg}(x) = 1,2$.

Ответ: да.