Номер 17.7, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.7.

1) $ \text{tg} \left( \text{arcctg} \frac{2}{3} \right); $

2) $ \text{ctg} \left( \text{arcctg} \left( -\frac{2}{3} \right) \right); $

3) $ \text{cos} \left( \text{arcctg} \frac{1}{6} \right); $

4) $ \text{sin} \left( \text{arcctg} \left( -\frac{2}{3} \right) \right). $

1) Пусть $ \alpha = \mathrm{arcctg}\left(\frac{2}{3}\right) $. По определению арккотангенса, это означает, что $ \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{2}{3} $ и $ \alpha \in (0, \pi) $.

Нам нужно найти $ \mathrm{tg}(\alpha) $. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{1}{\mathrm{ctg}(\alpha)} $.

Подставим значение котангенса:

$ \mathrm{tg}\left(\mathrm{arcctg}\left(\frac{2}{3}\right)\right) = \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

2) По определению арккотангенса как обратной функции к котангенсу, для любого действительного числа $ x $ выполняется равенство $ \mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}(x)) = x $.

В данном случае $ x = -\frac{2}{3} $.

Следовательно, $ \mathrm{ctg}\left(\mathrm{arcctg}\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2}{3} $.

3) Пусть $ \alpha = \mathrm{arcctg}\left(\frac{1}{6}\right) $. Это значит, что $ \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{1}{6} $ и $ \alpha \in (0, \pi) $.

Поскольку $ \mathrm{ctg}(\alpha) > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти, то есть $ \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $. В этой четверти косинус положителен.

Воспользуемся тождеством $ 1 + \mathrm{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $.

Сначала найдем тангенс: $ \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{1}{\mathrm{ctg}(\alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 $.

Теперь подставим значение тангенса в тождество:

$ 1 + 6^2 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $

$ 1 + 36 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $

$ 37 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $

$ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{37} $.

Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos(\alpha) > 0 $, поэтому:

$ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{37}} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{37}}{37} $.

4) Пусть $ \alpha = \mathrm{arcctg}\left(-\frac{2}{3}\right) $. По определению, $ \mathrm{ctg}(\alpha) = -\frac{2}{3} $ и $ \alpha \in (0, \pi) $.

Так как $ \mathrm{ctg}(\alpha) < 0 $, угол $ \alpha $ находится во второй четверти, то есть $ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) $. В этой четверти синус положителен.

Воспользуемся тождеством $ 1 + \mathrm{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $.

Подставим значение котангенса:

$ 1 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $

$ 1 + \frac{4}{9} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $

$ \frac{9}{9} + \frac{4}{9} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $

$ \frac{13}{9} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $

$ \sin^2(\alpha) = \frac{9}{13} $.

Поскольку $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \sin(\alpha) > 0 $, поэтому:

$ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{13}}{13} $.