Вопросы, страница 134, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему в результате выполнения какого-либо тригонометрического преобразования над выражением, содержащим арксинус, арккосинус, арктангенс или арккотангенс, получается алгебраическое выражение?

2. Какие значения может принимать число $a$ в выражении: 1) $\text{tg}(\text{arcctg}a)$; 2) $\text{ctg}(\text{arccos}a)$; 3) $\text{tg}(\text{arccos}a)$; 4) $\cos(\text{arcctg}a)$?

1. Это происходит потому, что обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т.д.) по своему определению возвращают угол. Когда мы применяем к такому результату тригонометрическую функцию (синус, косинус и т.д.), мы, по сути, находим значение одной тригонометрической функции угла, зная значение другой.

Рассмотрим на примере выражения $cos(arcsin(a))$.

Пусть $y = arcsin(a)$. Согласно определению арксинуса, это означает, что $sin(y) = a$, причем угол $y$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Теперь нам нужно найти $cos(y)$. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: $sin^2(y) + cos^2(y) = 1$.

Выразим $cos(y)$:

$cos^2(y) = 1 - sin^2(y)$

$cos(y) = \pm\sqrt{1 - sin^2(y)}$

Поскольку мы знаем, что $y$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а косинус в этом диапазоне неотрицателен ($cos(y) \ge 0$), мы выбираем знак плюс:

$cos(y) = \sqrt{1 - sin^2(y)}$

Теперь подставим $sin(y) = a$ в это выражение:

$cos(arcsin(a)) = \sqrt{1 - a^2}$

Как мы видим, итоговое выражение $\sqrt{1 - a^2}$ является алгебраическим: оно содержит только переменную $a$ и алгебраические операции (вычитание, возведение в степень, извлечение корня). В нем нет тригонометрических функций. Этот же принцип, основанный на использовании тригонометрических тождеств, применим к любым комбинациям тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Ответ: В результате такого преобразования мы используем тригонометрические тождества для выражения одной функции через другую. Так как значение внутренней аркфункции от аргумента $a$ известно, итоговое выражение зависит только от $a$ и алгебраических операций, заложенных в тождествах.

2. 1) tg(arcctg a)

Область определения внутренней функции $arcctg(a)$ — все действительные числа, то есть $a \in (-\infty, +\infty)$. Диапазон значений $arcctg(a)$ — интервал $(0, \pi)$. Внешняя функция $tg(y)$ не определена, когда ее аргумент $y$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из диапазона $(0, \pi)$ нам нужно исключить точку $y = \frac{\pi}{2}$. Найдем, при каком значении $a$ это происходит: $arcctg(a) = \frac{\pi}{2}$. Это равенство выполняется при $a = ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$. Следовательно, $a$ не может быть равно нулю.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2) ctg(arccos a)

Область определения внутренней функции $arccos(a)$ — отрезок $[-1, 1]$. Диапазон значений $arccos(a)$ — отрезок $[0, \pi]$. Внешняя функция $ctg(y)$ не определена, когда ее аргумент $y$ равен $\pi k$, где $k$ — целое число. Из диапазона $[0, \pi]$ нам нужно исключить точки $y = 0$ и $y = \pi$.

$arccos(a) = 0 \implies a = cos(0) = 1$.

$arccos(a) = \pi \implies a = cos(\pi) = -1$.

Следовательно, $a$ не может быть равно $1$ и $-1$. Объединяя с областью определения, получаем, что $a$ должно быть в интервале $(-1, 1)$.

Ответ: $a \in (-1, 1)$.

3) tg(arccos a)

Область определения внутренней функции $arccos(a)$ — отрезок $[-1, 1]$. Диапазон значений $arccos(a)$ — отрезок $[0, \pi]$. Внешняя функция $tg(y)$ не определена, когда ее аргумент $y$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из диапазона $[0, \pi]$ нам нужно исключить точку $y = \frac{\pi}{2}$.

$arccos(a) = \frac{\pi}{2} \implies a = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Следовательно, $a$ не может быть равно нулю. Объединяя с областью определения, получаем, что $a$ может принимать любые значения из отрезка $[-1, 1]$, кроме нуля.

Ответ: $a \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

4) cos(arcctg a)

Область определения внутренней функции $arcctg(a)$ — все действительные числа, $a \in (-\infty, +\infty)$. Диапазон значений $arcctg(a)$ — интервал $(0, \pi)$. Внешняя функция $cos(y)$ определена для любых действительных значений аргумента $y$. Поскольку диапазон внутренней функции полностью входит в область определения внешней функции, никаких дополнительных ограничений на $a$ не накладывается.

Ответ: $a \in (-\infty, +\infty)$.