Задания, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Обоснуйте формулы:

1) $sin(arctga) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}};

2) $sin(arctga) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}};

3) $cos(arctga) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$.

1) Обоснование формулы sin(arcctg a) = 1 / √ (1 + a²)

Пусть $y = \text{arcctg } a$. По определению арккотангенса, это означает, что $\text{ctg } y = a$ и угол $y$ находится в интервале $(0, \pi)$.

Нам нужно найти $\sin y$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$.

Подставим в это тождество значение $\text{ctg } y = a$:

$1 + a^2 = \frac{1}{\sin^2 y}$

Выразим отсюда $\sin^2 y$:

$\sin^2 y = \frac{1}{1 + a^2}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sin y = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Чтобы определить знак, вспомним, что $y$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$. В этом интервале (I и II координатные четверти) синус всегда положителен ($\sin y > 0$).

Поэтому мы выбираем знак плюс:

$\sin y = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Заменяя $y$ обратно на $\text{arcctg } a$, получаем искомую формулу.

Ответ: $\sin(\text{arcctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

2) Обоснование формулы sin(arctg a) = a / √ (1 + a²)

Пусть $y = \text{arctg } a$. По определению арктангенса, это означает, что $\text{tg } y = a$ и угол $y$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Нам нужно найти $\sin y$.

Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$. Для этого сначала найдем котангенс.

$\text{ctg } y = \frac{1}{\text{tg } y} = \frac{1}{a}$ (при $a \neq 0$).

Подставим это в тождество:

$1 + (\frac{1}{a})^2 = \frac{1}{\sin^2 y}$

$1 + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{\sin^2 y}$

$\frac{a^2 + 1}{a^2} = \frac{1}{\sin^2 y}$

Выразим отсюда $\sin^2 y$:

$\sin^2 y = \frac{a^2}{1 + a^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sin y = \pm\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Для выбора знака рассмотрим интервал $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. В этом интервале (I и IV координатные четверти) знаки синуса и тангенса совпадают. То есть, если $\text{tg } y = a > 0$, то $y \in (0, \frac{\pi}{2})$ и $\sin y > 0$. Если $\text{tg } y = a < 0$, то $y \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $\sin y < 0$.

Выражение в правой части $\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ имеет тот же знак, что и число $a$, так как знаменатель $\sqrt{1 + a^2}$ всегда положителен.

Следовательно, мы должны выбрать знак, который совпадает со знаком $a$. Это соответствует знаку плюс в формуле $\pm \frac{a}{\dots}$.

$\sin y = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Если $a = 0$, то $y = \text{arctg } 0 = 0$, и $\sin 0 = 0$. Формула также дает 0.

Подставляя $y = \text{arctg } a$, получаем требуемое равенство.

Ответ: $\sin(\text{arctg } a) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

3) Обоснование формулы cos(arcctg a) = a / √ (1 + a²)

Пусть $y = \text{arcctg } a$. Тогда $\text{ctg } y = a$ и $y \in (0, \pi)$.

Нам нужно найти $\cos y$.

Воспользуемся тождеством $1 + \text{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$.

Если $a \neq 0$, то $\text{tg } y = \frac{1}{\text{ctg } y} = \frac{1}{a}$.

Подставляем в тождество:

$1 + (\frac{1}{a})^2 = \frac{1}{\cos^2 y}$

$\frac{a^2 + 1}{a^2} = \frac{1}{\cos^2 y}$

Отсюда выражаем $\cos^2 y$:

$\cos^2 y = \frac{a^2}{1 + a^2}$

Извлекаем корень:

$\cos y = \pm\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Определим знак. Мы знаем, что $y \in (0, \pi)$.

- Если $a > 0$, то $\text{ctg } y > 0$, значит $y$ находится в I четверти, то есть $y \in (0, \frac{\pi}{2})$. В этом случае $\cos y > 0$. Выражение $\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ также положительно.

- Если $a < 0$, то $\text{ctg } y < 0$, значит $y$ находится во II четверти, то есть $y \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$. В этом случае $\cos y < 0$. Выражение $\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ также отрицательно.

- Если $a = 0$, то $y = \text{arcctg } 0 = \frac{\pi}{2}$, и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Формула также дает 0.

Во всех случаях знак $\cos y$ совпадает со знаком $a$. Выражение $\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ имеет тот же знак, что и $a$. Поэтому выбираем знак плюс в формуле $\pm \frac{a}{\dots}$.

$\cos y = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Заменяя $y$ на $\text{arcctg } a$, получаем доказываемую формулу.

Ответ: $\cos(\text{arcctg } a) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$