Номер 17.4, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.4. Имеет ли смысл выражение:

1) $\sin(\arcsin2)$;

2) $\sin(\arcsin(-1.3))$;

3) $\sin\left(-\arcsin\frac{\sqrt{15}}{4}\right)$;

4) $\cos(\arccos1.6)$;

5) $\cos(\arccos(\sqrt{3} - 2))$;

6) $\cos(-\arccos7)?$

Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение, нужно проверить, входит ли аргумент обратной тригонометрической функции (арксинуса или арккосинуса) в ее область определения. Областью определения для функций $y = \arcsin(x)$ и $y = \arccos(x)$ является отрезок $[-1; 1]$. Если аргумент принадлежит этому отрезку, то выражение имеет смысл, так как функции синуса и косинуса определены для любых действительных чисел.

1) Выражение $sin(arcsin2)$.

Данное выражение имеет смысл, если определено внутреннее выражение $arcsin2$. Область определения функции арксинус — это отрезок $[-1; 1]$. Поскольку число $2$ не принадлежит этому отрезку ($2 > 1$), выражение $arcsin2$ не имеет смысла. Следовательно, и все выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

2) Выражение $sin(arcsin(-1,3))$.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, проверяем аргумент функции арксинус. Число $-1,3$ не принадлежит области определения $[-1; 1]$, так как $-1,3 < -1$. Значит, выражение $arcsin(-1,3)$ не имеет смысла, а вместе с ним и все исходное выражение.

Ответ: нет.

3) Выражение $sin(-arcsin\frac{\sqrt{15}}{4})$.

Проверим, принадлежит ли аргумент арксинуса $\frac{\sqrt{15}}{4}$ отрезку $[-1; 1]$. Оценим значение $\sqrt{15}$. Так как $9 < 15 < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$, откуда следует, что $3 < \sqrt{15} < 4$. Разделив все части неравенства на $4$, получим $\frac{3}{4} < \frac{\sqrt{15}}{4} < 1$. Значение $\frac{\sqrt{15}}{4}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, выражение $arcsin\frac{\sqrt{15}}{4}$ определено и является некоторым числом. А значит, и все выражение $sin(-arcsin\frac{\sqrt{15}}{4})$ имеет смысл.

Ответ: да.

4) Выражение $cos(arccos1,6)$.

Данное выражение имеет смысл, если определено $arccos1,6$. Область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1; 1]$. Число $1,6$ не входит в этот отрезок, так как $1,6 > 1$. Следовательно, выражение $arccos1,6$ не имеет смысла, и все исходное выражение тоже.

Ответ: нет.

5) Выражение $cos(arccos(\sqrt{3} - 2))$.

Проверим, принадлежит ли аргумент арккосинуса $\sqrt{3} - 2$ отрезку $[-1; 1]$. Мы знаем, что $1 < \sqrt{3} < 2$ (поскольку $1^2=1$, $3$, $2^2=4$). Вычтем $2$ из всех частей неравенства: $1 - 2 < \sqrt{3} - 2 < 2 - 2$, что дает $-1 < \sqrt{3} - 2 < 0$. Так как значение $\sqrt{3} - 2$ находится в интервале $(-1; 0)$, оно принадлежит области определения арккосинуса $[-1; 1]$. Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

6) Выражение $cos(-arccos7)$.

Проверяем, определено ли выражение $arccos7$. Область определения арккосинуса — отрезок $[-1; 1]$. Число $7$ не принадлежит этому отрезку, так как $7 > 1$. Следовательно, выражение $arccos7$ не имеет смысла, а значит и все исходное выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.