Номер 17.5, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вычислите (17.5–17.9):

17.5.1) $ \sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right); $

2) $ \sin\left(\arccos\frac{2}{7}\right); $

3) $ \sin\left(2\arccos\frac{1}{4}\right); $

4) $ \sin\left(2\arcsin\frac{2}{3}\right). $

1) Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$. По определению арккосинуса, $\cos\alpha = \frac{1}{3}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.Для нахождения $\sin(\arccos\frac{1}{3}) = \sin\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.Отсюда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне $[0, \pi]$, его синус неотрицателен ($\sin\alpha \ge 0$).Следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

2) Пусть $\alpha = \arccos\frac{2}{7}$. По определению, $\cos\alpha = \frac{2}{7}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.Используем тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, чтобы найти $\sin\alpha$.$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{2}{7})^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}$.Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin\alpha \ge 0$.Значит, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{5}}{7}$

3) Для вычисления $\sin(2\arccos\frac{1}{4})$ применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{4}$. Тогда $\cos\alpha = \frac{1}{4}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.Сначала найдем $\sin\alpha$. Из основного тригонометрического тождества:$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin\alpha \ge 0$, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.Теперь подставим значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в формулу двойного угла:$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{15}}{16} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{8}$

4) Для вычисления $\sin(2\arcsin\frac{2}{3})$ используем ту же формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.Пусть $\alpha = \arcsin\frac{2}{3}$. По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.Так как $\sin\alpha = \frac{2}{3} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$). В этом промежутке косинус неотрицателен ($\cos\alpha \ge 0$).Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.Подставляем найденные значения в формулу:$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{5}}{9}$