Объясните, страница 134, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как выполнили преобразования:

1) $cos(2\arccos a) = \cos^2(\arccos a) - \sin^2(\arccos a) = 2a^2 - 1;$

2) $\mathrm{tg}(2\mathrm{arctg} a) = \frac{2\mathrm{tg}(\mathrm{arctg} a)}{1 - \mathrm{tg}^2(\mathrm{arctg} a)} = \frac{2a}{1 - a^2} ?$

1) cos(2arccosa) = cos²(arccosa) – sin²(arccosa) = 2a² – 1;

Это преобразование выполняется в два этапа с использованием тригонометрических формул и свойств обратных тригонометрических функций.

Этап 1: Применение формулы косинуса двойного угла.

Первое равенство $cos(2\arccos a) = cos^2(\arccos a) - sin^2(\arccos a)$ является прямым следствием формулы косинуса двойного угла, которая гласит: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. В данном случае в качестве аргумента $x$ выступает выражение $\arccos a$.

Этап 2: Упрощение выражения.

Чтобы получить из $cos^2(\arccos a) - sin^2(\arccos a)$ выражение $2a^2 - 1$, нужно упростить каждый член:

1. По определению арккосинуса, $cos(\arccos a) = a$. Это равенство верно для всех $a$ из отрезка $[-1, 1]$. Возводя обе части в квадрат, получаем: $cos^2(\arccos a) = a^2$.

2. Для нахождения $sin^2(\arccos a)$ используется основное тригонометрическое тождество: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Если подставить $x = \arccos a$, получим: $sin^2(\arccos a) + cos^2(\arccos a) = 1$. Мы уже знаем, что $cos^2(\arccos a) = a^2$, поэтому $sin^2(\arccos a) + a^2 = 1$, откуда следует, что $sin^2(\arccos a) = 1 - a^2$.

3. Теперь подставим полученные выражения $a^2$ и $1 - a^2$ в формулу из первого этапа:$cos^2(\arccos a) - sin^2(\arccos a) = a^2 - (1 - a^2) = a^2 - 1 + a^2 = 2a^2 - 1$.

Стоит отметить, что можно было прийти к результату быстрее, использовав другую формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$. Тогда: $cos(2\arccos a) = 2cos^2(\arccos a) - 1 = 2a^2 - 1$.

Ответ: Преобразование выполнено с помощью формулы косинуса двойного угла и основного тригонометрического тождества, а также определения арккосинуса.

2) tg(2arctga) = (2tg(arctga))/(1 - tg²(arctga)) = (2a)/(1 - a²)?

Это преобразование аналогично предыдущему, но использует формулу для тангенса двойного угла.

Этап 1: Применение формулы тангенса двойного угла.

Первое равенство $tg(2\operatorname{arctg} a) = \frac{2tg(\operatorname{arctg} a)}{1 - tg^2(\operatorname{arctg} a)}$ — это прямое применение формулы тангенса двойного угла: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$, где в качестве $x$ выступает $\operatorname{arctg} a$.

Этап 2: Упрощение выражения.

Чтобы получить итоговую дробь, необходимо использовать определение арктангенса:

1. По определению, $tg(\operatorname{arctg} a) = a$. Это равенство верно для любого действительного числа $a$.

2. Теперь подставим это значение в числитель и знаменатель дроби из первого этапа:

• Числитель: $2tg(\operatorname{arctg} a) = 2a$.

• Знаменатель: $1 - tg^2(\operatorname{arctg} a) = 1 - (tg(\operatorname{arctg} a))^2 = 1 - a^2$.

Соединив числитель и знаменатель, получаем итоговое выражение: $\frac{2a}{1 - a^2}$. Это преобразование верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $1 - a^2 \neq 0$, что означает $a \neq \pm1$.

Ответ: Преобразование выполнено с помощью формулы тангенса двойного угла и определения арктангенса.