Номер 16.18, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.18. Упростите выражение:

1) $1 + 2\text{tg}3a \cdot \text{ctg}(\pi - 3a) + \text{sin}^2 \frac{2\alpha}{3} \cdot \text{ctg}^2 \frac{2\alpha}{3} + \text{sin}^2 \frac{2\alpha}{3}$;

2) $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \text{tg}(\pi + \alpha) + \frac{\text{sin}^4 \alpha + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha - \text{cos}^4 \alpha}{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}$;

16.19. Постройте графики функции:

1) Для упрощения выражения $1 + 2\text{tg}3\alpha \cdot \text{ctg}(\pi - 3\alpha) + \text{sin}^2\frac{2\alpha}{3} \cdot \text{ctg}^2\frac{2\alpha}{3} + \text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}$ применим тригонометрические формулы и тождества.

1. Используем формулу приведения для котангенса: $\text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x)$.

Тогда слагаемое $2\text{tg}3\alpha \cdot \text{ctg}(\pi - 3\alpha)$ примет вид: $2\text{tg}3\alpha \cdot (-\text{ctg}3\alpha)$

2. Используем основное тригонометрическое тождество $\text{tg}x \cdot \text{ctg}x = 1$.

$2\text{tg}3\alpha \cdot (-\text{ctg}3\alpha) = -2(\text{tg}3\alpha \cdot \text{ctg}3\alpha) = -2 \cdot 1 = -2$.

3. Рассмотрим последнюю часть выражения: $\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3} \cdot \text{ctg}^2\frac{2\alpha}{3} + \text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}$.

Вынесем общий множитель $\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}$ за скобки: $\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3} \left( \text{ctg}^2\frac{2\alpha}{3} + 1 \right)$

4. Используем еще одно основное тригонометрическое тождество: $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\text{sin}^2x}$.

Тогда выражение в скобках равно $\frac{1}{\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}}$.

5. Подставим это обратно: $\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3} \cdot \frac{1}{\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}} = 1$.

6. Теперь сложим все части выражения: $1 + (-2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \text{tg}(\pi + \alpha) + \frac{\text{sin}^4\alpha + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha - \text{cos}^4\alpha}{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}$ разобьем его на части.

1. Упростим первое слагаемое $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \text{tg}(\pi + \alpha)$.

Используем формулы приведения:

$\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}\alpha$ (III четверть, тангенс положительный, функция меняется на кофункцию).

$\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha$ (III четверть, тангенс положительный, функция не меняется).

Тогда произведение равно: $\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$.

2. Упростим второе слагаемое (дробь).

Рассмотрим числитель: $\text{sin}^4\alpha + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha - \text{cos}^4\alpha$.

Сгруппируем члены: $(\text{sin}^4\alpha - \text{cos}^4\alpha) + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha$.

Разложим разность квадратов: $\text{sin}^4\alpha - \text{cos}^4\alpha = (\text{sin}^2\alpha - \text{cos}^2\alpha)(\text{sin}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha)$.

Используя тождества $\text{sin}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha = 1$ и $\text{cos}^2\alpha - \text{sin}^2\alpha = \text{cos}2\alpha$, получаем: $(\text{sin}^2\alpha - \text{cos}^2\alpha) \cdot 1 = -(\text{cos}^2\alpha - \text{sin}^2\alpha) = -\text{cos}2\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла: $2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha = \text{sin}2\alpha$.

Таким образом, числитель равен: $-\text{cos}2\alpha + \text{sin}2\alpha$.

3. Рассмотрим знаменатель: $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.

Используем формулу приведения: $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{tg}x$.

Знаменатель равен $\text{tg}2\alpha$.

4. Теперь вся дробь имеет вид: $\frac{\text{sin}2\alpha - \text{cos}2\alpha}{\text{tg}2\alpha}$

5. Подставим все упрощенные части в исходное выражение: $1 + \frac{\text{sin}2\alpha - \text{cos}2\alpha}{\text{tg}2\alpha}$.

6. Можно продолжить упрощение, заменив $\text{tg}2\alpha = \frac{\text{sin}2\alpha}{\text{cos}2\alpha}$: $1 + \frac{\text{sin}2\alpha - \text{cos}2\alpha}{\frac{\text{sin}2\alpha}{\text{cos}2\alpha}} = 1 + (\text{sin}2\alpha - \text{cos}2\alpha) \cdot \frac{\text{cos}2\alpha}{\text{sin}2\alpha} = 1 + \frac{\text{sin}2\alpha\text{cos}2\alpha - \text{cos}^2(2\alpha)}{\text{sin}2\alpha}$.

Приводя к общему знаменателю: $\frac{\text{sin}2\alpha}{\text{sin}2\alpha} + \frac{\text{sin}2\alpha\text{cos}2\alpha - \text{cos}^2(2\alpha)}{\text{sin}2\alpha} = \frac{\text{sin}2\alpha + \text{sin}2\alpha\text{cos}2\alpha - \text{cos}^2(2\alpha)}{\text{sin}2\alpha}$.

Ответ: $\frac{\text{sin}2\alpha + \text{sin}2\alpha\text{cos}2\alpha - \text{cos}^2(2\alpha)}{\text{sin}2\alpha}$