Номер 16.11, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.11. Постройте график функции и исследуйте функцию на монотонность.

1) $y = \arcsin(x - 1) + 2;$

2) $y = \pi - \arcsin x;$

3) $y = \pi + \arccos x;$

4) $y = -\arccos\frac{x}{2}.$

1) $y = \arcsin(x - 1) + 2$

График данной функции получается из графика базовой функции $y_0 = \arcsin x$ путем следующих геометрических преобразований:

1. Сдвиг графика $y_0 = \arcsin x$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox, получаем график функции $y_1 = \arcsin(x - 1)$.

2. Сдвиг графика $y_1 = \arcsin(x - 1)$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, получаем искомый график $y = \arcsin(x - 1) + 2$.

Для исследования на монотонность найдем область определения функции. Аргумент арксинуса должен находиться в пределах от -1 до 1:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим:

$0 \le x \le 2$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, 2]$.

Функция $y_0 = \arcsin t$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Преобразования сдвига не меняют характер монотонности функции. Следовательно, функция $y = \arcsin(x - 1) + 2$ также является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

Проверим это с помощью производной:

$y' = (\arcsin(x - 1) + 2)' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} \cdot (x-1)' = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^2 - 2x + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}}$.

На всей области определения $x \in (0, 2)$ производная $y' > 0$, что подтверждает, что функция возрастает.

Ключевые точки для построения графика:

• При $x=0$, $y = \arcsin(-1) + 2 = -\frac{\pi}{2} + 2$.

• При $x=1$, $y = \arcsin(0) + 2 = 2$.

• При $x=2$, $y = \arcsin(1) + 2 = \frac{\pi}{2} + 2$.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $x \in [0, 2]$.

2) $y = \pi - \arcsin x$

График данной функции получается из графика базовой функции $y_0 = \arcsin x$ путем следующих преобразований:

1. Симметричное отражение графика $y_0 = \arcsin x$ относительно оси Ox, получаем график функции $y_1 = -\arcsin x$.

2. Сдвиг графика $y_1 = -\arcsin x$ на $\pi$ единиц вверх вдоль оси Oy, получаем искомый график $y = \pi - \arcsin x$.

Область определения функции совпадает с областью определения $y_0 = \arcsin x$, то есть $D(y) = [-1, 1]$.

Функция $y_0 = \arcsin x$ является возрастающей. Отражение относительно оси Ox меняет монотонность на противоположную, поэтому $y_1 = -\arcsin x$ является убывающей. Сдвиг по оси Oy не влияет на монотонность. Следовательно, функция $y = \pi - \arcsin x$ является убывающей на всей своей области определения.

Проверим с помощью производной:

$y' = (\pi - \arcsin x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

На всей области определения $x \in (-1, 1)$ производная $y' < 0$, что подтверждает, что функция убывает.

Ключевые точки для построения графика:

• При $x=-1$, $y = \pi - \arcsin(-1) = \pi - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2}$.

• При $x=0$, $y = \pi - \arcsin(0) = \pi$.

• При $x=1$, $y = \pi - \arcsin(1) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: функция убывает на всей области определения $x \in [-1, 1]$.

3) $y = \pi + \arccos x$

График данной функции получается из графика базовой функции $y_0 = \arccos x$ путем сдвига на $\pi$ единиц вверх вдоль оси Oy.

Область определения функции совпадает с областью определения $y_0 = \arccos x$, то есть $D(y) = [-1, 1]$.

Функция $y_0 = \arccos x$ является монотонно убывающей на всей своей области определения. Сдвиг не меняет характер монотонности. Следовательно, функция $y = \pi + \arccos x$ является убывающей на всей своей области определения.

Проверим с помощью производной:

$y' = (\pi + \arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

На всей области определения $x \in (-1, 1)$ производная $y' < 0$, что подтверждает, что функция убывает.

Ключевые точки для построения графика:

• При $x=-1$, $y = \pi + \arccos(-1) = \pi + \pi = 2\pi$.

• При $x=0$, $y = \pi + \arccos(0) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

• При $x=1$, $y = \pi + \arccos(1) = \pi + 0 = \pi$.

Ответ: функция убывает на всей области определения $x \in [-1, 1]$.

4) $y = -\arccos\frac{x}{2}$

График данной функции получается из графика базовой функции $y_0 = \arccos x$ путем следующих преобразований:

1. Растяжение графика $y_0 = \arccos x$ от оси Oy в 2 раза, получаем график функции $y_1 = \arccos\frac{x}{2}$.

2. Симметричное отражение графика $y_1 = \arccos\frac{x}{2}$ относительно оси Ox, получаем искомый график $y = -\arccos\frac{x}{2}$.

Найдем область определения функции. Аргумент арккосинуса должен находиться в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$

Умножив все части на 2, получим:

$-2 \le x \le 2$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, 2]$.

Функция $y_0 = \arccos t$ является убывающей. Функция $t(x)=\frac{x}{2}$ является возрастающей. Композиция убывающей и возрастающей функций ($y_1 = \arccos\frac{x}{2}$) является убывающей функцией. Отражение относительно оси Ox меняет монотонность на противоположную. Следовательно, итоговая функция $y = -\arccos\frac{x}{2}$ является возрастающей на всей своей области определения.

Проверим с помощью производной:

$y' = (-\arccos\frac{x}{2})' = - \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}}\right) \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$.

На всей области определения $x \in (-2, 2)$ производная $y' > 0$, что подтверждает, что функция возрастает.

Ключевые точки для построения графика:

• При $x=-2$, $y = -\arccos(-1) = -\pi$.

• При $x=0$, $y = -\arccos(0) = -\frac{\pi}{2}$.

• При $x=2$, $y = -\arccos(1) = 0$.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $x \in [-2, 2]$.