Номер 16.4, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.4. Докажите, что верно числовое равенство:

1) $ \arcsin 1 + \arccos 1 = \frac{\pi}{2} $;

2) $ \arcsin 1 + \arccos 0 = \pi $;

3) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} $;

4) $ \arcsin \frac{1}{2} + \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} $.

1) Для доказательства равенства $arcsin1 + arccos1 = \frac{\pi}{2}$ вычислим значения каждого слагаемого в левой части. По определению арксинуса, $arcsin(x)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Следовательно, $arcsin1$ — это угол, синус которого равен 1, что соответствует $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $arcsin1 = \frac{\pi}{2}$. По определению арккосинуса, $arccos(x)$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$. Следовательно, $arccos1$ — это угол, косинус которого равен 1, что соответствует 0. Таким образом, $arccos1 = 0$. Подставим найденные значения в исходное выражение: $arcsin1 + arccos1 = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$. Равенство доказано.Ответ: $\frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.

2) Для доказательства равенства $arcsin1 + arccos0 = \pi$ вычислим значения каждого слагаемого. Из предыдущего пункта известно, что $arcsin1 = \frac{\pi}{2}$. Теперь найдем $arccos0$. По определению, $arccos0$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен 0. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $arccos0 = \frac{\pi}{2}$. Подставим найденные значения: $arcsin1 + arccos0 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Равенство доказано.Ответ: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.

3) Для доказательства равенства $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2}$ вычислим значения каждого слагаемого. По определению, $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$. По определению, $arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, $arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$. Сложим полученные значения: $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Равенство доказано.Ответ: $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

4) Для доказательства равенства $arcsin\frac{1}{2} + arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$ вычислим значения каждого слагаемого. По определению, $arcsin\frac{1}{2}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, $arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. По определению, $arccos\frac{1}{2}$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$. Сложим полученные значения: $arcsin\frac{1}{2} + arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Равенство доказано.Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.