Задания, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Заполните таблицу, используя график функции $y = \text{arcctg} x$ (рис. 16.16).

Область определения

Область (множество) значений

Четность (нечетность)

Монотонность

Наибольшее значение

Наименьшее значение

Нули функции

Рис. 16.16

Область определения

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Глядя на представленный график функции $y = \text{arcctg } x$, можно увидеть, что он простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси $x$. Это означает, что функция определена для любого действительного числа $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

Область (множество) значений

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Из графика видно, что значения функции находятся между двумя горизонтальными асимптотами $y=0$ и $y=\pi$. Функция никогда не достигает этих значений, а только стремится к ним. Таким образом, все значения функции строго больше 0 и строго меньше $\pi$.

Ответ: $(0; \pi)$.

Четность (нечетность)

Функция является четной, если ее график симметричен относительно оси ординат (OY), и нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат (O). График функции $y = \text{arcctg } x$ не обладает ни одним из этих видов симметрии. Например, точка $(0, \frac{\pi}{2})$ является центром симметрии, но не начало координат. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Ни четная, ни нечетная.

Монотонность

Анализируя график слева направо, мы видим, что с увеличением $x$ значение $y$ постоянно уменьшается. Это означает, что функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Ответ: Убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Наибольшее значение

Наибольшее значение — это максимальное значение $y$, которое достигает функция. Хотя функция стремится к $\pi$ при $x \to -\infty$, она никогда не достигает этого значения. Таким образом, у функции нет наибольшего значения.

Ответ: Не существует.

Наименьшее значение

Наименьшее значение — это минимальное значение $y$, которое достигает функция. Функция стремится к 0 при $x \to +\infty$, но никогда не достигает этого значения. Таким образом, у функции нет наименьшего значения.

Ответ: Не существует.

Нули функции

Нули функции — это точки, в которых график пересекает ось абсцисс (ось $x$), то есть где $y=0$. Поскольку область значений функции — это интервал $(0; \pi)$, значение $y=0$ никогда не достигается. График не пересекает ось $x$.

Ответ: Не существуют.