Объясните, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для построения графика функции $y = \text{arctgx}$, используя график функции $y = \text{tgx}$ (рис. 16.9), рассматривают только часть тангенсоиды (рис. 16.10)?

Рис. 16.9

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ является обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$. По определению, обратная функция может существовать только для обратимой функции. Основным свойством обратимой функции является ее монотонность, то есть она должна быть строго возрастающей или строго убывающей на всей своей области определения. Если функция монотонна, то каждому значению функции $y$ соответствует только одно значение аргумента $x$.

Рассмотрим график функции $y = \operatorname{tg} x$, который называется тангенсоидой (рис. 16.9). Эта функция является периодической с периодом $T = \pi$. Из-за периодичности одному и тому же значению $y$ соответствует бесконечное множество значений $x$ (например, $\operatorname{tg} 0 = 0$, $\operatorname{tg} \pi = 0$, $\operatorname{tg} (k\pi) = 0$ для любого целого $k$). Это означает, что функция $y = \operatorname{tg} x$ на всей своей области определения не является монотонной и, следовательно, не является обратимой.

Чтобы найти для нее обратную функцию, необходимо сузить ее область определения до такого интервала, на котором она будет монотонной. Для тангенса принято выбирать интервал, на котором функция строго возрастает и который симметричен относительно начала координат. Таким интервалом является главная ветвь тангенсоиды — участок на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

На этом интервале функция $y = \operatorname{tg} x$:

1. Является строго возрастающей.

2. Каждому значению аргумента $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ соответствует единственное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению $y$ из $(-\infty; +\infty)$ соответствует единственное значение $x$ из $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Именно для этой, ограниченной на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, функции $y = \operatorname{tg} x$ и вводится обратная функция $y = \operatorname{arctg} x$. График обратной функции $y = \operatorname{arctg} x$ симметричен графику исходной функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ относительно прямой $y=x$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \operatorname{arctg} x$ рассматривают только часть тангенсоиды, потому что функция $y = \operatorname{tg} x$ является обратимой (имеет обратную функцию) только на интервалах своей монотонности. По соглашению выбирается главная ветвь на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \operatorname{tg} x$ строго возрастает.