Вопросы, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему при построении графиков обратных тригонометрических функций с помощью соответствующих тригонометрических функций рассматривают только их части?

2. Являются ли периодическими обратные тригонометрические функции?

1. Почему при построении графиков обратных тригонометрических функций с помощью соответствующих тригонометрических функций рассматривают только их части?

Для того чтобы у функции $f(x)$ существовала обратная функция $f^{-1}(x)$, необходимо, чтобы исходная функция была обратимой. Главное условие обратимости — функция должна быть монотонной на всей своей области определения, то есть строго возрастающей или строго убывающей. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений соответствует только одно значение $x$ из области определения (такие функции называют взаимно-однозначными).

Рассмотрим тригонометрические функции, например, $y = \sin(x)$. Эта функция является периодической с периодом $2\pi$ и не является монотонной на всей своей области определения (на всей числовой оси). Например, значению $y = 0.5$ соответствует бесконечное множество значений $x$: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ и так далее. Если бы мы попытались определить обратную функцию для всего синуса, то для одного значения $x$ (например, $x=0.5$) мы бы получили бесконечно много значений $y$, что противоречит определению функции.

Чтобы решить эту проблему и сделать возможным построение обратной функции, область определения исходной тригонометрической функции искусственно ограничивают. Выбирается такой промежуток, на котором функция монотонна и принимает все свои возможные значения. Этот промежуток называют промежутком главного значения.

Например:

• Для $y = \sin(x)$ выбирают промежуток монотонного возрастания $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке синус принимает все значения от $-1$ до $1$.
• Для $y = \cos(x)$ выбирают промежуток монотонного убывания $[0, \pi]$. На этом отрезке косинус принимает все значения от $1$ до $-1$.
• Для $y = \operatorname{tg}(x)$ выбирают промежуток монотонного возрастания $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
• Для $y = \operatorname{ctg}(x)$ выбирают промежуток монотонного убывания $(0, \pi)$.

Таким образом, обратные тригонометрические функции (аркфункции) являются обратными не ко всей тригонометрической функции, а только к ее "части" — к функции, рассматриваемой на выбранном промежутке монотонности.

Ответ: Тригонометрические функции являются периодическими и, следовательно, не монотонными на всей области определения. Чтобы для них можно было построить обратные функции, их область определения ограничивают таким промежутком, на котором они ведут себя монотонно. Именно для этих "частей" и строятся обратные функции.

2. Являются ли периодическими обратные тригонометрические функции?

Нет, обратные тригонометрические функции не являются периодическими. Периодическая функция $f(x)$ по определению должна удовлетворять условию $f(x+T) = f(x)$ для некоторого числа $T \ne 0$ (периода) и для всех $x$ из области определения.

Рассмотрим каждую из основных обратных тригонометрических функций:

• Функции $y = \arcsin(x)$ и $y = \arccos(x)$ определены на ограниченном промежутке $[-1, 1]$. Периодическая функция (за исключением константы) должна быть определена на бесконечном промежутке, чтобы ее значения могли повторяться. Так как область определения этих функций ограничена, они не могут быть периодическими.
• Функции $y = \operatorname{arctg}(x)$ и $y = \operatorname{arcctg}(x)$ определены на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$, поэтому теоретически они могли бы быть периодическими. Однако обе эти функции являются строго монотонными на всей своей области определения: арктангенс строго возрастает, а арккотангенс строго убывает. Строго монотонная функция принимает каждое свое значение только один раз, поэтому она не может повторять свои значения и, следовательно, не может быть периодической.

Таким образом, ни одна из обратных тригонометрических функций не удовлетворяет определению периодической функции.

Ответ: Нет, обратные тригонометрические функции не являются периодическими, так как они либо определены на ограниченном промежутке (арксинус, арккосинус), либо являются строго монотонными на всей области определения (арктангенс, арккотангенс) и не повторяют свои значения.