Номер 16.7, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.7. Используя график функции $y = \arcsin x$, расположите выражения в порядке возрастания их значений:

1) $\arcsin \frac{\pi}{6}$; $\arcsin 0,8$; $\arcsin (-0,2)$;

2) $\arcsin \left(-\frac{\pi}{3}\right)$; $\arcsin 0,9$; $\arcsin (-0,1)$;

3) $\arcsin \frac{\pi}{18}$; $\arcsin 0,3$; $\arcsin (-0,8)$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство функции $y = \arcsin x$. Эта функция определена на отрезке $[-1, 1]$ и является строго возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[-1, 1]$, если $x_1 < x_2$, то и $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$. Таким образом, чтобы расположить значения арксинусов в порядке возрастания, нам нужно сначала сравнить их аргументы, и если они все принадлежат области определения, расположить сами арксинусы в том же порядке.

1) Даны выражения: $\arcsin\frac{\pi}{6}$; $\arcsin 0,8$; $\arcsin(-0,2)$.

Сначала сравним аргументы этих функций: $\frac{\pi}{6}$, $0,8$ и $-0,2$.

Для начала убедимся, что все аргументы находятся в области определения функции арксинус, то есть в отрезке $[-1, 1]$.

Значение $\pi$ приблизительно равно $3,14$. Тогда $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,14}{6} \approx 0,523$.

Все три аргумента: $0,523$, $0,8$ и $-0,2$ принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания:

$-0,2 < \frac{\pi}{6} < 0,8$

Так как функция $y = \arcsin x$ возрастающая, то значения выражений будут располагаться в том же порядке:

$\arcsin(-0,2) < \arcsin\frac{\pi}{6} < \arcsin 0,8$

Ответ: $\arcsin(-0,2)$; $\arcsin\frac{\pi}{6}$; $\arcsin 0,8$.

2) Даны выражения: $\arcsin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$; $\arcsin 0,9$; $\arcsin(-0,1)$.

Сравним аргументы этих функций: $-\frac{\pi}{3}$, $0,9$ и $-0,1$.

Проверим, принадлежат ли аргументы области определения $[-1, 1]$.

Аргументы $0,9$ и $-0,1$ находятся в этом отрезке.

Рассмотрим аргумент $-\frac{\pi}{3}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем:

$-\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3,14}{3} \approx -1,047$.

Значение $-1,047$ меньше, чем $-1$, и, следовательно, не входит в область определения функции $y = \arcsin x$. Это означает, что выражение $\arcsin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ не определено в области действительных чисел.

Поскольку одно из выражений не имеет действительного значения, расположить их в порядке возрастания невозможно.

Ответ: Расположить выражения в порядке возрастания невозможно, так как выражение $\arcsin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ не определено.

3) Даны выражения: $\arcsin\frac{\pi}{18}$; $\arcsin 0,3$; $\arcsin(-0,8)$.

Сравним аргументы: $\frac{\pi}{18}$, $0,3$ и $-0,8$.

Проверим, входят ли аргументы в область определения $[-1, 1]$.

Аргументы $0,3$ и $-0,8$ принадлежат этому отрезку.

Вычислим приближенное значение для $\frac{\pi}{18}$:

$\frac{\pi}{18} \approx \frac{3,14}{18} \approx 0,174$.

Это значение также находится в отрезке $[-1, 1]$.

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания:

$-0,8 < \frac{\pi}{18} < 0,3$

Поскольку функция $y = \arcsin x$ возрастающая, значения арксинусов будут в том же порядке:

$\arcsin(-0,8) < \arcsin\frac{\pi}{18} < \arcsin 0,3$

Ответ: $\arcsin(-0,8)$; $\arcsin\frac{\pi}{18}$; $\arcsin 0,3$.