Номер 16.2, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.2.1)

1) $y = \arccos3x;$ 2) $y = 2\arccos(2x - 1);$

3) $y = 2\arccos(2x + 3);$ 4) $y = 2-\arccos(x - 3).

1) $y = \arccos(3x)$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус, $3x$, должен находиться в пределах от $-1$ до $1$ включительно. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-1 \le 3x \le 1$

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$.

Найдем область значений функции. Стандартная функция $z = \arccos(t)$ имеет область значений $[0; \pi]$.

Когда $x$ пробегает все значения из области определения $[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$, выражение $3x$ пробегает все значения из отрезка $[-1; 1]$.

Следовательно, функция $y = \arccos(3x)$ принимает все значения из стандартной области значений для арккосинуса.

Таким образом, область значений функции $E(y) = [0; \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$. Область значений $E(y) = [0; \pi]$.

2) $y = 2\arccos(2x - 1)$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус, $2x-1$, должен удовлетворять условию:

$-1 \le 2x - 1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le 2x \le 1 + 1$

$0 \le 2x \le 2$

Разделим все части на 2:

$0 \le x \le 1$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [0; 1]$.

Найдем область значений функции. Область значений функции $\arccos(t)$ есть отрезок $[0; \pi]$.

Значит, $0 \le \arccos(2x - 1) \le \pi$.

Умножим все части этого неравенства на 2:

$2 \cdot 0 \le 2\arccos(2x - 1) \le 2 \cdot \pi$

$0 \le y \le 2\pi$

Таким образом, область значений функции $E(y) = [0; 2\pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; 1]$. Область значений $E(y) = [0; 2\pi]$.

3) $y = 2\arccos(2x + 3)$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус, $2x+3$, должен удовлетворять условию:

$-1 \le 2x + 3 \le 1$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-1 - 3 \le 2x \le 1 - 3$

$-4 \le 2x \le -2$

Разделим все части на 2:

$-2 \le x \le -1$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-2; -1]$.

Найдем область значений функции. Область значений функции $\arccos(t)$ есть отрезок $[0; \pi]$.

Значит, $0 \le \arccos(2x + 3) \le \pi$.

Умножим все части этого неравенства на 2:

$2 \cdot 0 \le 2\arccos(2x + 3) \le 2 \cdot \pi$

$0 \le y \le 2\pi$

Таким образом, область значений функции $E(y) = [0; 2\pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-2; -1]$. Область значений $E(y) = [0; 2\pi]$.

4) $y = 2 - \arccos(x - 3)$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус, $x-3$, должен удовлетворять условию:

$-1 \le x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le x \le 1 + 3$

$2 \le x \le 4$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [2; 4]$.

Найдем область значений функции. Область значений для $\arccos(x-3)$ есть отрезок $[0; \pi]$:

$0 \le \arccos(x - 3) \le \pi$

Умножим неравенство на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-\pi \le -\arccos(x - 3) \le 0$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 - \pi \le 2 - \arccos(x - 3) \le 2 + 0$

$2 - \pi \le y \le 2$

Таким образом, область значений функции $E(y) = [2 - \pi; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [2; 4]$. Область значений $E(y) = [2 - \pi; 2]$.