Объясните, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для построения графика функции $y = \text{arcctg}x$, используя график функции $y = \text{ctg}x$ (рис. 16.13), рассматривают только часть тангенсоиды (рис. 16.14)?

Рис. 16.13

Рис. 16.14

Условие существования обратной функции

По определению, функция имеет обратную только в том случае, если она является обратимой (или биективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение функции $y$, и, наоборот, каждому значению функции $y$ соответствует единственное значение аргумента $x$. Графически это условие проверяется «тестом горизонтальной линии»: любая горизонтальная прямая должна пересекать график функции не более чем в одной точке.

Функция $y = \text{ctg}\,x$, рассмотренная на всей своей области определения (все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ — целое число), является периодической с периодом $T = \pi$. Это означает, что она принимает одинаковые значения в бесконечном множестве точек. Например, $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, $\text{ctg}(\frac{5\pi}{4}) = 1$, $\text{ctg}(-\frac{3\pi}{4}) = 1$ и так далее. Горизонтальная прямая $y=1$ пересекает график котангенсоиды (рис. 16.13) в бесконечном числе точек. Следовательно, для функции $y = \text{ctg}\,x$ в целом нельзя построить однозначную обратную функцию, так как одному значению $y$ соответствует множество значений $x$.

Ответ: Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была взаимно-однозначной, чему периодическая функция $y = \text{ctg}\,x$ на всей области определения не удовлетворяет.

Выбор основного промежутка монотонности

Чтобы определить обратную функцию, необходимо ограничить область определения исходной функции $y = \text{ctg}\,x$ таким промежутком, на котором она монотонна (то есть только возрастает или только убывает). На таком промежутке каждому значению $y$ будет соответствовать ровно один $x$.

Для котангенса в качестве такого основного промежутка по соглашению выбирают интервал $(0, \pi)$. На этом интервале (как показано на рис. 16.14) функция $y = \text{ctg}\,x$ строго убывает и принимает все возможные действительные значения от $+\infty$ до $-\infty$. То есть, область значений этой ограниченной функции — это $(-\infty, +\infty)$.

Именно для этой «урезанной» версии функции $y = \text{ctg}\,x$ с областью определения $x \in (0, \pi)$ и строится обратная функция, которая называется арккотангенсом.

Ответ: Рассматривается только часть котангенсоиды на интервале $(0, \pi)$, так как на этом интервале функция $y = \text{ctg}\,x$ монотонно убывает, что позволяет определить для нее однозначную обратную функцию.

Построение графика функции y = arcctg x

Обратная функция $y = \text{arcctg}\,x$ определяется следующим образом: $\text{arcctg}\,a$ — это такое число $b$ из интервала $(0, \pi)$, что $\text{ctg}\,b = a$.

Из этого определения следуют свойства арккотангенса:

• Область определения $y = \text{arcctg}\,x$ — это область значений ограниченной функции $y = \text{ctg}\,x$, то есть $(-\infty, +\infty)$.
• Область значений $y = \text{arcctg}\,x$ — это область определения ограниченной функции $y = \text{ctg}\,x$, то есть интервал $(0, \pi)$.

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$. Таким образом, чтобы построить график $y = \text{arcctg}\,x$, берут именно ту ветвь графика $y = \text{ctg}\,x$, которая соответствует интервалу $(0, \pi)$ (рис. 16.14), и отражают ее симметрично относительно прямой $y=x$.

Ответ: Для построения графика $y = \text{arcctg}\,x$ используется только ветвь котангенсоиды на интервале $(0, \pi)$, поскольку именно эта часть графика соответствует функции, для которой арккотангенс является обратной. График арккотангенса является зеркальным отражением этой ветви относительно прямой $y=x$.