Объясните, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \text{arcctg}x$ (рис. 16.15)?

График функции $y = \text{arcctg}(x)$ построен на основе того факта, что арккотангенс является функцией, обратной к функции котангенс, $y = \text{ctg}(x)$. Процесс построения можно разбить на следующие этапы:

1. Ограничение области определения котангенса.

Функция $y = \text{ctg}(x)$ является периодической, а значит, не является взаимно-однозначной на всей своей области определения. Чтобы для нее существовала обратная функция, необходимо выбрать интервал, на котором она монотонна. В качестве основного интервала монотонности для котангенса традиционно выбирают промежуток $(0, \pi)$. На этом интервале функция $y = \text{ctg}(x)$ непрерывна и строго убывает, принимая все значения от $+\infty$ до $-\infty$. На рисунке эта часть графика котангенса показана серой кривой.

2. Использование свойств обратных функций.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$. Это означает, что для получения графика $y = \text{arcctg}(x)$, нужно взять график $y = \text{ctg}(x)$, построенный на интервале $(0, \pi)$, и отразить его симметрично относительно прямой $y=x$.

3. Анализ полученного графика.

В результате симметричного отражения происходят следующие изменения:

• Область определения и область значений меняются местами. Для $y=\text{ctg}(x)$ на $(0, \pi)$ область определения была $(0, \pi)$, а область значений $(-\infty, +\infty)$. Для $y = \text{arcctg}(x)$ область определения становится $(-\infty, +\infty)$, а область значений — $(0, \pi)$.

• Вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=\pi$ для графика котангенса превращаются в горизонтальные асимптоты $y=\pi$ и $y=0$ для графика арккотангенса. Так, стремление котангенса к $+\infty$ при $x \to 0^+$ соответствует стремлению арккотангенса к $0$ при $x \to +\infty$. А стремление котангенса к $-\infty$ при $x \to \pi^-$ соответствует стремлению арккотангенса к $\pi$ при $x \to -\infty$.

• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ на графике $y=\text{ctg}(x)$ переходит в точку $(0, \frac{\pi}{2})$ на графике $y=\text{arcctg}(x)$.

• Функция $y=\text{arcctg}(x)$ является убывающей на всей своей области определения, так же как и $y=\text{ctg}(x)$ на интервале $(0, \pi)$.

Именно так, путем отражения главной ветви котангенса, и был построен график $y=\text{arcctg}(x)$, который мы видим на рисунке.

Ответ: График функции $y = \text{arcctg}(x)$ построен путем симметричного отражения относительно прямой $y=x$ той ветви графика функции $y = \text{ctg}(x)$, которая соответствует интервалу $x \in (0, \pi)$.