Номер 16.12, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.12. Постройте график функции:

1) $y = |\arcsin x - \pi|$;

2) $y = 2\arcsin|x|$;

3) $y = -2\arccos|x|$;

4) $y = \arccos|x - 2|$.

1) $y = |\arcsin x - \pi|$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования, начиная с графика базовой функции $y_1 = \arcsin x$.

1. График функции $y_1 = \arcsin x$ определен на отрезке $x \in [-1, 1]$ и имеет область значений $y_1 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.

2. Построим график функции $y_2 = \arcsin x - \pi$. Он получается путем сдвига графика $y_1$ на $\pi$ единиц вниз вдоль оси Oy. Область определения остается прежней, $D(y_2) = [-1, 1]$, а область значений смещается: $E(y_2) = [-\frac{\pi}{2} - \pi, \frac{\pi}{2} - \pi] = [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

3. Наконец, построим график искомой функции $y = |\arcsin x - \pi|$. Это означает, что все значения $y_2$ берутся по модулю. Поскольку область значений $E(y_2)$ целиком лежит ниже оси Ox (все значения $y_2$ отрицательны), то для получения графика $y = |y_2|$ нужно отразить график $y_2$ симметрично относительно оси Ox. Это равносильно построению графика функции $y = -y_2 = -(\arcsin x - \pi) = \pi - \arcsin x$.

Итоговый график $y = \pi - \arcsin x$ имеет:

- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.

- Область значений: $E(y) = [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

- Ключевые точки:

- при $x = -1, y = \pi - \arcsin(-1) = \pi - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2}$. Точка $(-1, \frac{3\pi}{2})$.

- при $x = 0, y = \pi - \arcsin(0) = \pi - 0 = \pi$. Точка $(0, \pi)$.

- при $x = 1, y = \pi - \arcsin(1) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Точка $(1, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, убывающую на отрезке $[-1, 1]$ от точки $(-1, \frac{3\pi}{2})$ до точки $(1, \frac{\pi}{2})$ и проходящую через точку $(0, \pi)$.

2) $y = 2\arcsin|x|$

Построение графика выполним в несколько шагов.

1. Начнем с графика $y_1 = \arcsin x$.

2. Построим график функции $y_2 = \arcsin|x|$. Поскольку функция $y_2(x)$ является четной ($y_2(-x) = \arcsin|-x| = \arcsin|x| = y_2(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$, $|x|=x$, поэтому график $y_2$ совпадает с графиком $y_1$ на отрезке $[0, 1]$. Часть графика для $x < 0$ получаем, отразив симметрично часть для $x > 0$ относительно оси Oy. Область определения $D(y_2): |x| \le 1 \implies x \in [-1, 1]$. Область значений $E(y_2):$ так как $|x| \in [0, 1]$, то $y_2 \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

3. Построим график искомой функции $y = 2\arcsin|x| = 2y_2$. Этот график получается из графика $y_2$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy.

Итоговый график $y = 2\arcsin|x|$ имеет:

- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.

- Область значений: $E(y) = [2 \cdot 0, 2 \cdot \frac{\pi}{2}] = [0, \pi]$.

- Ключевые точки:

- при $x = 0, y = 2\arcsin|0| = 0$. Точка $(0, 0)$.

- при $x = 1, y = 2\arcsin|1| = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$. Точка $(1, \pi)$.

- при $x = -1, y = 2\arcsin|-1| = 2\arcsin(1) = \pi$. Точка $(-1, \pi)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, выходит из точки $(0, 0)$ (точка минимума) и возрастает на $[0, 1]$ до точки $(1, \pi)$, а на $[-1, 0]$ убывает от точки $(-1, \pi)$ до $(0, 0)$.

3) $y = -2\arccos|x|$

Построение графика также выполним последовательными преобразованиями.

1. Базовая функция — $y_1 = \arccos x$. Область определения $D(y_1) = [-1, 1]$, область значений $E(y_1) = [0, \pi]$.

2. Построим график функции $y_2 = \arccos|x|$. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \in [0, 1]$ график $y_2$ совпадает с графиком $y_1$. Часть для $x < 0$ является зеркальным отражением части для $x > 0$. Область определения $D(y_2) = [-1, 1]$. Область значений $E(y_2) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

3. Построим график искомой функции $y = -2\arccos|x| = -2y_2$. Для этого нужно график $y_2$ растянуть в 2 раза вдоль оси Oy, а затем отразить симметрично относительно оси Ox.

Итоговый график $y = -2\arccos|x|$ имеет:

- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.

- Область значений: $E(y) = [-2 \cdot \frac{\pi}{2}, -2 \cdot 0] = [-\pi, 0]$.

- Ключевые точки:

- при $x = 0, y = -2\arccos|0| = -2 \cdot \frac{\pi}{2} = -\pi$. Точка $(0, -\pi)$.

- при $x = 1, y = -2\arccos|1| = -2 \cdot 0 = 0$. Точка $(1, 0)$.

- при $x = -1, y = -2\arccos|-1| = -2\arccos(1) = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет точку минимума $(0, -\pi)$ и проходит через точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4) $y = \arccos|x - 2|$

Построение графика основано на преобразовании графика функции $y_1 = \arccos|x|$.

1. Как было установлено в предыдущем пункте, график функции $y_1 = \arccos|x|$ определен на $x \in [-1, 1]$, имеет область значений $y_1 \in [0, \frac{\pi}{2}]$ и проходит через ключевые точки $(-1, 0)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.

2. График искомой функции $y = \arccos|x - 2|$ получается из графика $y_1$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

- Область определения: аргумент функции $|x-2|$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Так как $|x-2| \ge 0$, имеем $0 \le |x-2| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le x-2 \le 1$. Отсюда $1 \le x \le 3$. Итак, $D(y) = [1, 3]$.

- Область значений: так как аргумент $|x-2|$ принимает значения на отрезке $[0, 1]$, область значений функции $y = \arccos(|x-2|)$ будет $[0, \frac{\pi}{2}]$. Итак, $E(y) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

- Ключевые точки (получены сдвигом ключевых точек $y_1$ на 2 вправо):

- $(-1, 0) \rightarrow (-1+2, 0) = (1, 0)$.

- $(0, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0+2, \frac{\pi}{2}) = (2, \frac{\pi}{2})$.

- $(1, 0) \rightarrow (1+2, 0) = (3, 0)$.

Ответ: График функции определен на отрезке $[1, 3]$, симметричен относительно прямой $x=2$. Он начинается в точке $(1, 0)$, возрастает до точки максимума $(2, \frac{\pi}{2})$, а затем убывает до точки $(3, 0)$.