Номер 16.17, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.17. Докажите тождество:

1) $2\cot a \cdot \tan(3\pi + a) - 2\sin(-a) \cdot \cos a + \cos(270^\circ - 2a) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) - 2\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = 2;$

2) $1- \cos 4a + \frac{1}{1+\tan^2 2\alpha} - (1- \cos^2 2\alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 2\alpha} + \tan 3a \cdot \tan(90^\circ - 3a) = 2.$

1) Докажем, что данное выражение не является тождеством. Для этого преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы приведения и основные тождества.

Исходное выражение: $2\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}(3\pi + \alpha) - 2\text{sin}(-\alpha) \cdot \text{cos}\alpha + \text{cos}(270^\circ - 2\alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - 2\text{cos}(2\alpha - \frac{\pi}{2})$

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

1. $2\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}(3\pi + \alpha)$. Используя периодичность тангенса ($\text{tg}(x+k\pi)=\text{tg}x$, где $k$ — целое число), получаем $\text{tg}(3\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha$. Тогда выражение равно $2\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 2 \cdot 1 = 2$.

2. $-2\text{sin}(-\alpha) \cdot \text{cos}\alpha$. Синус — нечетная функция, поэтому $\text{sin}(-\alpha) = -\text{sin}\alpha$. Выражение становится $-2(-\text{sin}\alpha)\text{cos}\alpha = 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha = \text{sin}(2\alpha)$.

3. $\text{cos}(270^\circ - 2\alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. По формулам приведения: $\text{cos}(270^\circ - 2\alpha) = \text{cos}(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -\text{sin}(2\alpha)$ и $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \text{ctg}(2\alpha)$. Тогда произведение равно $-\text{sin}(2\alpha) \cdot \text{ctg}(2\alpha) = -\text{sin}(2\alpha) \cdot \frac{\text{cos}(2\alpha)}{\text{sin}(2\alpha)} = -\text{cos}(2\alpha)$.

4. $-2\text{cos}(2\alpha - \frac{\pi}{2})$. Косинус — четная функция, $\text{cos}(x) = \text{cos}(-x)$, поэтому $\text{cos}(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = \text{cos}(-(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)) = \text{cos}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. По формуле приведения $\text{cos}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \text{sin}(2\alpha)$. Таким образом, выражение равно $-2\text{sin}(2\alpha)$.

Теперь сложим все упрощенные части:

$2 + \text{sin}(2\alpha) - \text{cos}(2\alpha) - 2\text{sin}(2\alpha) = 2 - \text{sin}(2\alpha) - \text{cos}(2\alpha)$.

Полученное выражение $2 - \text{sin}(2\alpha) - \text{cos}(2\alpha)$ не равно 2 для всех значений $\alpha$. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Тогда $2 - \text{sin}(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \text{cos}(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2 - \text{sin}(\frac{\pi}{2}) - \text{cos}(\frac{\pi}{2}) = 2 - 1 - 0 = 1$.

Поскольку $1 \neq 2$, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Утверждение в задаче неверно, данное равенство не является тождеством.

2) Докажем, что данное выражение также не является тождеством. Преобразуем его левую часть.

Исходное выражение: $1- \text{cos}4\alpha + \frac{1}{1+\text{tg}^2 2\alpha} - (1-\text{cos}^22\alpha)\cdot\frac{1}{\text{sin}^2 2\alpha} + \text{tg}3\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - 3\alpha)$

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

1. $1- \text{cos}4\alpha$. Используя формулу косинуса двойного угла $\text{cos}2x = 1 - 2\text{sin}^2x$, получаем $1 - \text{cos}4\alpha = 1 - (1 - 2\text{sin}^2(2\alpha)) = 2\text{sin}^2(2\alpha)$.

2. $\frac{1}{1+\text{tg}^2 2\alpha}$. По основному тригонометрическому тождеству $1+\text{tg}^2x = \frac{1}{\text{cos}^2x}$. Следовательно, $\frac{1}{1+\text{tg}^2 2\alpha} = \text{cos}^2(2\alpha)$.

3. $-(1-\text{cos}^22\alpha)\cdot\frac{1}{\text{sin}^2 2\alpha}$. По основному тригонометрическому тождеству $1-\text{cos}^2x = \text{sin}^2x$. Выражение становится $-(\text{sin}^22\alpha)\cdot\frac{1}{\text{sin}^2 2\alpha} = -1$.

4. $\text{tg}3\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - 3\alpha)$. По формуле приведения $\text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}x$. Выражение равно $\text{tg}3\alpha \cdot \text{ctg}3\alpha = 1$.

Теперь сложим все упрощенные части:

$2\text{sin}^2(2\alpha) + \text{cos}^2(2\alpha) - 1 + 1 = 2\text{sin}^2(2\alpha) + \text{cos}^2(2\alpha)$.

Используя тождество $\text{sin}^2x + \text{cos}^2x = 1$, преобразуем выражение:

$2\text{sin}^2(2\alpha) + \text{cos}^2(2\alpha) = \text{sin}^2(2\alpha) + (\text{sin}^2(2\alpha) + \text{cos}^2(2\alpha)) = \text{sin}^2(2\alpha) + 1$.

Полученное выражение $1 + \text{sin}^2(2\alpha)$ не равно 2 для всех значений $\alpha$. Приведем контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Тогда $1 + \text{sin}^2(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 1 + \text{sin}^2(\frac{\pi}{3}) = 1 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Поскольку $\frac{7}{4} \neq 2$, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Утверждение в задаче неверно, данное равенство не является тождеством.