Объясните, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для построения графика функции $y = \arcsin x$, используя график функции $y = \sin x$ (рис.16.1), рассматривают только часть синусоиды (рис.16.2)?

Рис. 16.1

Рис. 16.2

Функция $y = \arcsin(x)$ является обратной к функции $y = \sin(x)$. По определению, для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была взаимно однозначной (или монотонной). Это означает, что каждому значению функции (y) должно соответствовать только одно значение аргумента (x).

Рассмотрим график функции $y = \sin(x)$ на всей числовой прямой (рис. 16.1). Эта функция является периодической. Если мы проведем горизонтальную прямую, например, $y = 0.5$, она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек ($x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$, $x = \frac{13\pi}{6}$ и т.д.). Это означает, что одному значению $y$ соответствует множество значений $x$, и, следовательно, функция $y = \sin(x)$ на всей своей области определения не является монотонной, и для нее невозможно построить однозначную обратную функцию.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо ограничить область определения функции $y = \sin(x)$ таким образом, чтобы на выбранном промежутке она была строго монотонной (только возрастала или только убывала). По соглашению, для функции синус выбирают промежуток монотонного возрастания, на котором она принимает все свои возможные значения от -1 до 1. Таким промежутком является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Именно эта часть синусоиды изображена на рис. 16.2. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin(x)$ строго возрастает, и каждому значению $y$ из отрезка $[-1, 1]$ соответствует единственное значение $x$.

Таким образом, функция $y = \arcsin(x)$ определяется как обратная к функции $y = \sin(x)$, рассматриваемой только на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Это гарантирует, что для каждого $x$ из области определения арксинуса (отрезок $[-1, 1]$) существует единственное значение $y$ из его области значений (отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$).

Ответ: Для построения графика функции $y = \arcsin(x)$ рассматривают только часть синусоиды, потому что функция $y = \arcsin(x)$ является обратной к $y = \sin(x)$, а обратная функция может существовать только для монотонного участка исходной функции. По соглашению, для синуса выбирается участок строгого возрастания $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, показанный на рис. 16.2, что обеспечивает однозначность функции арксинуса.