Номер 15.21, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.21. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $\text{arctg}(-7{,}3)$; $\text{arctg}(-0{,}3)$; $\text{arctg}\frac{5\pi}{9}$; $\text{arctg}\frac{\pi}{6}$;

2) $\text{arcctg}(-111)$; $\text{arcctg}(-2{,}2)$; $\text{arcctg}\frac{2\pi}{5}$; $\text{arcctg}\frac{5\pi}{9}$.

1) Функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Чтобы расположить выражения в порядке возрастания, необходимо сравнить их аргументы: $-7,3$; $-0,3$; $\frac{5\pi}{9}$; $\frac{\pi}{6}$.

Сравним аргументы. Отрицательные числа меньше положительных, и очевидно, что $-7,3 < -0,3$.

Сравним положительные аргументы, приведя их к общему знаменателю 18:$\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{18}$ и $\frac{5\pi}{9} = \frac{10\pi}{18}$.Так как $3\pi < 10\pi$, то $\frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{9}$.

Таким образом, аргументы в порядке возрастания располагаются следующим образом: $-7,3 < -0,3 < \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{9}$.

В силу того, что функция $\operatorname{arctg}(x)$ возрастающая, порядок значений выражений будет таким же.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-7,3)$; $\operatorname{arctg}(-0,3)$; $\operatorname{arctg}(\frac{\pi}{6})$; $\operatorname{arctg}(\frac{5\pi}{9})$.

2) Функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Чтобы расположить выражения в порядке возрастания, необходимо расположить их аргументы в порядке убывания. Аргументы: $-111$; $-2,2$; $\frac{2\pi}{5}$; $\frac{5\pi}{9}$.

Сначала упорядочим аргументы по возрастанию. Очевидно, что $-111 < -2,2$.

Сравним положительные аргументы, приведя их к общему знаменателю 45:$\frac{2\pi}{5} = \frac{18\pi}{45}$ и $\frac{5\pi}{9} = \frac{25\pi}{45}$.Так как $18\pi < 25\pi$, то $\frac{2\pi}{5} < \frac{5\pi}{9}$.

Полный порядок возрастания аргументов: $-111 < -2,2 < \frac{2\pi}{5} < \frac{5\pi}{9}$.

Следовательно, порядок убывания аргументов будет обратным: $\frac{5\pi}{9} > \frac{2\pi}{5} > -2,2 > -111$.

Поскольку функция $\operatorname{arcctg}(x)$ убывающая, искомый порядок возрастания значений функции будет соответствовать порядку убывания ее аргументов.

Ответ: $\operatorname{arcctg}(\frac{5\pi}{9})$; $\operatorname{arcctg}(\frac{2\pi}{5})$; $\operatorname{arcctg}(-2,2)$; $\operatorname{arcctg}(-111)$.