Номер 15.16, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.16.

1) $\arccos (-1) - \arctan \sqrt{3}$;

2) $\arcsin (-1) + \arctan (-\sqrt{3})$;

3) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$;

4) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}(-1)$.

1) Найдем значение выражения $arccos(-1) - arctg(\sqrt{3})$.

По определению арккосинуса, $arccos(-1)$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен -1. Таким углом является $\pi$. Следовательно, $arccos(-1) = \pi$.

По определению арктангенса, $arctg(\sqrt{3})$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Таким углом является $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Теперь вычислим разность: $arccos(-1) - arctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

2) Найдем значение выражения $arcsin(-1) + arcctg(-\sqrt{3})$.

По определению арксинуса, $arcsin(-1)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Таким углом является $-\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Для арккотангенса отрицательного аргумента воспользуемся формулой $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Таким образом, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$.

По определению арккотангенса, $arcctg(\sqrt{3})$ — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Таким углом является $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь вычислим сумму: $arcsin(-1) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

3) Найдем значение выражения $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Для арксинуса отрицательного аргумента воспользуемся формулой $arcsin(-x) = -arcsin(x)$. Таким образом, $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

По определению, $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{3}$.

Значит, $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Значение $arcctg(-\sqrt{3})$ было найдено в предыдущем пункте: $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь вычислим сумму: $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) Найдем значение выражения $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcctg(-1)$.

Для арккосинуса отрицательного аргумента воспользуемся формулой $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Таким образом, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

По определению, $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Для арккотангенса отрицательного аргумента воспользуемся формулой $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Таким образом, $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.

По определению, $arcctg(1)$ — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{4}$.

Значит, $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь вычислим сумму: $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcctg(-1) = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} = \frac{10\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{19\pi}{12}$.