Номер 15.11, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.11.1) $arcctg(-1)$;

2) $arctg(0,12)$;

3) $arctg(21)$;

4) $arctg\left(-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)$?

1) arcctg(-1)

Арккотангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arcctg}(a)$, — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$.

То есть, мы ищем такой угол $\alpha$, что $\text{ctg}(\alpha) = -1$ и $0 < \alpha < \pi$.

Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используется формула: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

Применим эту формулу для нашего случая:

$\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

Мы знаем из таблицы значений тригонометрических функций, что котангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1, то есть $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Следовательно, $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в нашу формулу:

$\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Значение $\frac{3\pi}{4}$ находится в интервале $(0, \pi)$, значит, это и есть искомый ответ.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

2) arctg(0,12)

Арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg}(a)$, — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

В данном случае мы ищем угол $\alpha$, для которого $\text{tg}(\alpha) = 0,12$.

Число $0,12$ не является "табличным" значением тангенса для стандартных углов (таких как $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$ и т.д.).

Поэтому выражение $\text{arctg}(0,12)$ является точным значением и не может быть упрощено или выражено через $\pi$ в виде простой дроби. Его значение можно найти лишь приближенно с помощью калькулятора или математических таблиц.

Ответ: $\text{arctg}(0,12)$

3) arctg(21)

Аналогично предыдущему пункту, мы ищем угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $21$.

То есть, $\text{tg}(\alpha) = 21$.

Число $21$ также не является табличным значением тангенса. Поэтому выражение $\text{arctg}(21)$ является точной и наиболее простой формой записи ответа.

Поскольку $21 > 0$, значение $\text{arctg}(21)$ является положительным углом, находящимся в первой четверти, близким к $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\text{arctg}(21)$

4) arctg(-5√3/3)

Мы ищем угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg}(\alpha) = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции арктангенса: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

$\text{arctg}(-\frac{5\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{5\sqrt{3}}{3})$.

Рассмотрим значение аргумента $\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Стандартные значения тангенса, которые содержат $\sqrt{3}$, это $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (для угла $\frac{\pi}{6}$) и $\sqrt{3}$ (для угла $\frac{\pi}{3}$).

Значение $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ не является одним из этих стандартных значений.

Следовательно, так же, как и в заданиях 2 и 3, данное выражение нельзя упростить и представить в виде дроби от $\pi$. Оно является точным значением.

Ответ: $\text{arctg}(-\frac{5\sqrt{3}}{3})$