Номер 15.10, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.10. 1) $\arccos1,2;$

2) $\arccos(-1);$

3) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{5}\right);$

4) $\arccos\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)?$

Для того чтобы выражение $\arccos(a)$ имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы его аргумент $a$ принадлежал области определения функции арккосинус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Другими словами, должно выполняться неравенство $-1 \le a \le 1$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

1) arccos1,2

В данном случае аргумент $a = 1,2$. Проверяем выполнение условия $-1 \le 1,2 \le 1$. Это неравенство неверно, поскольку $1,2 > 1$. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

2) arccos(-1)

В данном случае аргумент $a = -1$. Проверяем выполнение условия $-1 \le -1 \le 1$. Это неравенство верно, так как $-1$ находится на границе отрезка $[-1, 1]$. Следовательно, выражение имеет смысл. Его значение равно $\pi$, поскольку $\cos(\pi) = -1$ и угол $\pi$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, который является областью значений арккосинуса.

Ответ: имеет смысл.

3) arccos($-\frac{\sqrt{2}}{5}$)

В данном случае аргумент $a = -\frac{\sqrt{2}}{5}$. Проверяем выполнение условия $-1 \le -\frac{\sqrt{2}}{5} \le 1$. Чтобы проверить это неравенство, сравним модуль аргумента $|a| = \frac{\sqrt{2}}{5}$ с единицей. Возведем обе части в квадрат (так как они положительны): $(\frac{\sqrt{2}}{5})^2 = \frac{2}{25}$. Поскольку $\frac{2}{25} < 1$, то и $\frac{\sqrt{2}}{5} < 1$. Это означает, что $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{5} < 1$. Условие выполняется, следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

4) arccos($\frac{3\sqrt{3}}{2}$)

В данном случае аргумент $a = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Проверяем выполнение условия $-1 \le \frac{3\sqrt{3}}{2} \le 1$. Сравним значение $a$ с 1. Поскольку $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$, то $3\sqrt{3} > 3$. Разделив обе части на 2, получим $\frac{3\sqrt{3}}{2} > \frac{3}{2} = 1,5$. Так как $a = \frac{3\sqrt{3}}{2} > 1$, условие не выполняется. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.