Номер 15.6, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (15.6–15.8):

15.6.1) $\arcsin(-1)$; 2) $\arcsin 0$; 3) $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$; 4) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

1) Найти значение $\arcsin(-1)$.

По определению, арксинусом числа $a$ (обозначается $\arcsin(a)$) называется такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что синус этого числа равен $a$ ($\sin(\alpha) = a$).

В данном случае $a = -1$. Нам нужно найти такое $\alpha$, что $\sin(\alpha) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Известно, что $\sin(\alpha) = -1$ при $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число. Единственное значение из этого множества, которое принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, это $-\frac{\pi}{2}$ (при $k=0$).

Следовательно, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

2) Найти значение $\arcsin(0)$.

Ищем такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(\alpha) = 0$.

Уравнение $\sin(\alpha) = 0$ имеет решения $\alpha = \pi k$, где $k$ - целое число. Из всех этих решений только $\alpha = 0$ (при $k=0$) попадает в отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Таким образом, $\arcsin(0) = 0$.

Ответ: $0$.

3) Найти значение $\arcsin(\frac{1}{2})$.

Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$.

Это табличное значение для синуса. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то по определению арксинуса получаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

4) Найти значение $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ищем такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Теперь найдем $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значит, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.