Номер 15.6, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (15.6–15.8):

15.6.1) $\arcsin(-1)$; 2) $\arcsin 0$; 3) $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$; 4) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

1) Найти значение `\arcsin(-1)`.

По определению, арксинусом числа `a` (обозначается `\arcsin(a)`) называется такое число `\alpha` из отрезка `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, что синус этого числа равен `a` (`\sin(\alpha) = a`).

В данном случае `a = -1`. Нам нужно найти такое `\alpha`, что `\sin(\alpha) = -1` и `-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}`.

Известно, что `\sin(\alpha) = -1` при `\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k`, где `k` - целое число. Единственное значение из этого множества, которое принадлежит отрезку `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, это `-\frac{\pi}{2}` (при `k=0`).

Следовательно, `\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}`.

Ответ: `-\frac{\pi}{2}`.

2) Найти значение `\arcsin(0)`.

Ищем такое число `\alpha` из отрезка `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, для которого `\sin(\alpha) = 0`.

Уравнение `\sin(\alpha) = 0` имеет решения `\alpha = \pi k`, где `k` - целое число. Из всех этих решений только `\alpha = 0` (при `k=0`) попадает в отрезок `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`.

Таким образом, `\arcsin(0) = 0`.

Ответ: `0`.

3) Найти значение `\arcsin(\frac{1}{2})`.

Нам нужно найти такой угол `\alpha` из отрезка `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, что `\sin(\alpha) = \frac{1}{2}`.

Это табличное значение для синуса. Мы знаем, что `\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}`.

Поскольку угол `\frac{\pi}{6}` принадлежит отрезку `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, то по определению арксинуса получаем, что `\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}`.

Ответ: `\frac{\pi}{6}`.

4) Найти значение `\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})`.

Ищем такое число `\alpha` из отрезка `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, для которого `\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}`.

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: `\arcsin(-x) = -\arcsin(x)`.`\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})`.

Теперь найдем `\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})`. Это угол, синус которого равен `\frac{\sqrt{3}}{2}`. Из таблицы тригонометрических значений известно, что `\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}`. Угол `\frac{\pi}{3}` принадлежит отрезку `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`.

Значит, `\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}`.

Следовательно, `\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}`.

Ответ: `-\frac{\pi}{3}`.