Номер 15.2, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.2.1) $cost = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $t \in [0; \pi];$

2) $cost = 0,5$, $t \in [0; \frac{\pi}{2}];$

3) $cost = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $t \in [0; \pi];$

4) $cost = -1$, $t \in [-0,3\pi; \pi].$

1)Требуется решить уравнение $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $t \in [0; \pi]$.

Общее решение уравнения $cos t = a$ дается формулой $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем арккосинус: $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Общее решение: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$.

Рассмотрим серию $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$ получаем $t = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{5\pi}{6} \le \pi$. При $n=1$, $t > \pi$, а при $n=-1$, $t < 0$.

Рассмотрим серию $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$, $t = -\frac{5\pi}{6}$, что не входит в отрезок. При $n=1$, $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$, что больше $\pi$.

Таким образом, на заданном отрезке есть только одно решение.

Ответ: $t = \frac{5\pi}{6}$.

2)Требуется решить уравнение $cos t = 0,5$ на отрезке $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$.

Запишем $0,5$ как $\frac{1}{2}$. Уравнение имеет вид $cos t = \frac{1}{2}$.

Общее решение: $t = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни из отрезка $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Из серии $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $t = \frac{\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку, так как $0 \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$. Другие значения $n$ дают корни вне отрезка.

Из серии $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $t = -\frac{\pi}{3}$, что не принадлежит отрезку. При $n=1$, $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$, что также не входит в отрезок.

Единственное решение на заданном отрезке.

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

3)Требуется решить уравнение $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $t \in [0; \pi]$.

Общее решение: $t = \pm arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни из отрезка $[0; \pi]$.

Для серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $t = \frac{\pi}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{4} \le \pi$.

Для серии $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ при $n=0$ корень $t = -\frac{\pi}{4}$ не входит в отрезок. При $n=1$ корень $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ также не входит в отрезок.

Таким образом, на заданном отрезке есть только один корень.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

4)Требуется решить уравнение $cos t = -1$ на отрезке $t \in [-0,3\pi; \pi]$.

Это частный случай тригонометрического уравнения.

Общее решение уравнения $cos t = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-0,3\pi; \pi]$, подставляя различные целые значения $n$.

При $n=0$, $t = \pi$. Этот корень принадлежит отрезку, так как $-0,3\pi \le \pi \le \pi$.

При $n=-1$, $t = \pi - 2\pi = -\pi$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $-\pi < -0,3\pi$.

При $n=1$, $t = \pi + 2\pi = 3\pi$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $3\pi > \pi$.

Следовательно, существует единственное решение на данном отрезке.

Ответ: $t = \pi$.