Задания, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Установите зависимость между значениями выражений: $\operatorname{arctg}(-1)$ и $\operatorname{arctg}1$; $\operatorname{arctg}(-a)$ и $\operatorname{arctg}a$ (рис. 15.10):

arctg (-1) и arctg 1

По определению, арктангенс числа $x$, который обозначается как $\text{arctg } x$, — это такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что его тангенс равен $x$. То есть, $\text{tg } \alpha = x$.

1. Найдем значение $\text{arctg } 1$. Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = 1$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что таким углом является $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

2. Теперь найдем значение $\text{arctg } (-1)$. Нам нужно найти такой угол $\beta$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \beta = -1$. Мы знаем, что тангенс является нечетной функцией, то есть $\text{tg } (-\alpha) = -\text{tg } \alpha$. Поэтому, $\text{tg } (-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg } (\frac{\pi}{4}) = -1$. Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $\text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4}$.

3. Сравним полученные значения: $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$ и $\text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4}$. Отсюда видно, что значения являются противоположными числами.

Ответ: $\text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1$.

arctg (–a) и arctg a

Чтобы установить зависимость между $\text{arctg } (-a)$ и $\text{arctg } a$ в общем виде, воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс. Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Докажем, что $y = \text{arctg } x$ является нечетной функцией.

1. Пусть $\alpha = \text{arctg } a$. По определению это значит, что $\text{tg } \alpha = a$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

2. Пусть $\beta = \text{arctg } (-a)$. По определению это значит, что $\text{tg } \beta = -a$ и $\beta \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

3. Из первого пункта мы имеем $a = \text{tg } \alpha$. Подставим это во второй пункт: $\text{tg } \beta = -(\text{tg } \alpha)$.

4. Функция тангенс является нечетной, то есть $-\text{tg } \alpha = \text{tg } (-\alpha)$. Следовательно, мы можем переписать наше равенство как $\text{tg } \beta = \text{tg } (-\alpha)$.

5. Поскольку $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то и $-\alpha$ также принадлежит этому интервалу: $-\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция тангенс монотонно возрастает, а значит, каждое свое значение принимает только один раз. Поэтому из равенства $\text{tg } \beta = \text{tg } (-\alpha)$, где и $\beta$, и $-\alpha$ лежат в одном и том же интервале монотонности, следует равенство их аргументов: $\beta = -\alpha$.

6. Вспомним, что $\beta = \text{arctg } (-a)$ и $\alpha = \text{arctg } a$. Подставив это в полученное равенство $\beta = -\alpha$, мы получаем искомую зависимость: $\text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a$.

Ответ: $\text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a$.