Номер 10, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Функция $y = \text{tg} \frac{x}{2}$ является возрастающей на множестве:

A) $(\pi k; \pi + k), k \in Z;$

B) $(2\pi k; 2\pi + 2\pi k), k \in Z;$

C) $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in Z;$

D) $(-2\pi + \pi k; 2\pi + 2\pi k), k \in Z.$

Для определения множества, на котором функция $y = \tg\frac{x}{2}$ является возрастающей, можно проанализировать свойства базовой функции тангенса или использовать производную.

1. Анализ свойств функции тангенса.

Известно, что функция $f(u) = \tg u$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения. Эти интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае аргументом функции тангенса является $u = \frac{x}{2}$. Чтобы найти интервалы возрастания для функции $y = \tg\frac{x}{2}$, подставим $u = \frac{x}{2}$ в неравенство, определяющее интервалы возрастания для $\tg u$ (для удобства используем другую букву для целого числа, например $k$):

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти соответствующие интервалы для переменной $x$, решим это двойное неравенство. Умножим все его части на 2:

$2 \cdot (-\frac{\pi}{2} + \pi k) < 2 \cdot \frac{x}{2} < 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k)$

$-\pi + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k$

Таким образом, функция $y = \tg\frac{x}{2}$ возрастает на множестве интервалов $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Использование производной.

Функция возрастает на тех интервалах, где её первая производная положительна ($y' > 0$). Найдем производную функции $y = \tg\frac{x}{2}$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = \left(\tg\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$.

Производная $y'$ будет положительной, когда её знаменатель положителен и не равен нулю. Выражение $\cos^2(\frac{x}{2})$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю, когда $\cos(\frac{x}{2}) = 0$, то есть когда функция не определена. Следовательно, производная $y' = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$ строго больше нуля на всей области определения функции.

Область определения функции $y = \tg\frac{x}{2}$ задается условием $\cos(\frac{x}{2}) \neq 0$, что эквивалентно $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \pi + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция возрастает на интервалах между своими вертикальными асимптотами. Эти интервалы имеют вид $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$.

Заключение.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Множество, на котором функция возрастает, представляет собой объединение интервалов $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сравним этот результат с предложенными вариантами:

A) $(\pi k; \pi + k), k \in \mathbb{Z}$ - неверно.

B) $(2\pi k; 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$ - неверно, так как, например, интервал $(0; 2\pi)$ содержит точку разрыва $x=\pi$.

C) $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$ - верно.

D) $(-2\pi + \pi k; 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$ - неверно.

Ответ: C