Объясните, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему в выражении $ \arcsin a $ для числа $ a $ вводятся ограничения $ |a| \le 1 $?

Ограничение $|a| \le 1$ для выражения $\arcsin(a)$ напрямую следует из определения арксинуса как функции, обратной к синусу, и из свойств самой функции синуса. Давайте разберем это по шагам.

1. Определение функции синус и ее область значений

Функция синус, $y = \sin(x)$, сопоставляет углу (или вещественному числу) $x$ значение, которое, с геометрической точки зрения, является ординатой точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Независимо от того, какой угол $x$ мы возьмем, его синус всегда будет находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Другими словами, область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Математически это записывается так:

$-1 \le \sin(x) \le 1$ для любого $x \in R$.

Не существует такого угла, синус которого был бы, например, равен 2 или -1.5.

Ответ: Область значений функции $y=\sin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

2. Определение функции арксинус как обратной функции

Арксинус числа $a$ (записывается как $\arcsin(a)$) — это такой угол $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

То есть, равенство $y = \arcsin(a)$ по определению означает, что выполняются два условия:

1. $\sin(y) = a$

2. $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Арксинус является обратной функцией к функции синуса, но не на всей числовой прямой, а на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, где синус монотонен.

Ответ: $\arcsin(a)$ — это угол, синус которого равен $a$.

3. Связь областей определения и значений для обратных функций

Ключевое свойство взаимно обратных функций заключается в том, что область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции.

В нашем случае:

• Исходная функция: $y = \sin(x)$
• Область ее значений: $[-1, 1]$
• Обратная функция: $y = \arcsin(a)$

Поскольку значения $\sin(x)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$, то и аргумент $a$ для функции $\arcsin(a)$ может принимать значения только из этого отрезка.

Ответ: Область определения функции $\arcsin(a)$ должна совпадать с областью значений функции $\sin(x)$, то есть быть отрезком $[-1, 1]$.

Вывод

Итак, мы ищем $\arcsin(a)$. Это значит, мы ищем угол, синус которого равен $a$. Так как синус любого угла не может быть больше 1 и меньше -1, то и число $a$, для которого мы ищем арксинус, обязано находиться в этих же границах. Условие $-1 \le a \le 1$ в точности соответствует записи $|a| \le 1$. Если бы мы попытались найти, например, $\arcsin(2)$, мы бы искали угол $y$, для которого $\sin(y) = 2$, что невозможно. Поэтому такое выражение не определено.

Ответ: Ограничение $|a| \le 1$ является следствием того, что область значений функции синус, для которой арксинус является обратной функцией, есть отрезок $[-1, 1]$. Аргумент арксинуса $a$ по определению не может выходить за пределы этого отрезка.