Задания, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Установите зависимость между значениями выражений:

$\arcsin(-1)$ и $\arcsin(1)$; $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $\arcsin(-a)$ и $\arcsin a$ (рис. 15.4).

Установите зависимость между значениями выражений:

$\arccos(-1)$ и $\arccos(1)$; $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$; $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $\arccos(-a)$ и $\arccos a$ (рис. 15.7).

Рис. 15.7

arcsin(-1) и arcsin1

По определению, арксинус числа $x$ ($arcsin(x)$) — это такое число $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

Найдем значение $arcsin(1)$. Нам нужно найти угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = 1$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение $arcsin(-1)$. Нам нужно найти угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = -1$. Этим углом является $y = -\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $arcsin(-1) = -arcsin(1)$.

Ответ: $arcsin(-1) = -arcsin(1)$.

arcsin(-1/2) и arcsin(1/2)

Найдем значение $arcsin(\frac{1}{2})$. Это угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = \frac{1}{2}$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{6}$. Таким образом, $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Найдем значение $arcsin(-\frac{1}{2})$. Это угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = -\frac{1}{2}$. Этим углом является $y = -\frac{\pi}{6}$. Таким образом, $arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $arcsin(-\frac{1}{2}) = -arcsin(\frac{1}{2})$.

Ответ: $arcsin(-\frac{1}{2}) = -arcsin(\frac{1}{2})$.

arcsin(-√2/2) и arcsin(√2/2)

Найдем значение $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Найдем значение $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $sin(y) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $y = -\frac{\pi}{4}$. Таким образом, $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

arcsin(-a) и arcsina

Обобщим предыдущие результаты. Пусть $y = arcsin(a)$. По определению это означает, что $sin(y) = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим выражение $arcsin(-a)$. Нам нужно найти такое число $z$, что $sin(z) = -a$ и $-\frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}$.

Из $sin(y) = a$ следует, что $-sin(y) = -a$. Так как функция синус нечетная, то есть $sin(-y) = -sin(y)$, мы можем записать $sin(-y) = -a$.

Проверим, принадлежит ли угол $-y$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Так как $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$, умножив неравенство на -1, получим $\frac{\pi}{2} \ge -y \ge -\frac{\pi}{2}$, что равносильно $-\frac{\pi}{2} \le -y \le \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, мы нашли угол $(-y)$, который лежит в нужном промежутке и синус которого равен $-a$. Следовательно, $arcsin(-a) = -y$. Заменив $y$ на $arcsin(a)$, получаем тождество: $arcsin(-a) = -arcsin(a)$. Это свойство нечетности функции арксинус.

Ответ: $arcsin(-a) = -arcsin(a)$.

arccos(-1) и arccos1

По определению, арккосинус числа $x$ ($arccos(x)$) — это такое число $y$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$.

Найдем значение $arccos(1)$. Нам нужно найти угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = 1$. Этим углом является $y = 0$. Таким образом, $arccos(1) = 0$.

Найдем значение $arccos(-1)$. Нам нужно найти угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = -1$. Этим углом является $y = \pi$. Таким образом, $arccos(-1) = \pi$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $arccos(-1) = \pi$ и $arccos(1) = 0$. Зависимость можно выразить формулой $arccos(-1) = \pi - arccos(1)$, так как $\pi = \pi - 0$.

Ответ: $arccos(-1) = \pi - arccos(1)$.

arccos(-1/2) и arccos(1/2)

Найдем значение $arccos(\frac{1}{2})$. Это угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = \frac{1}{2}$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Найдем значение $arccos(-\frac{1}{2})$. Это угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = -\frac{1}{2}$. Этим углом является $y = \frac{2\pi}{3}$. Таким образом, $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. Следовательно, $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.

Ответ: $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.

arccos(-√2/2) и arccos(√2/2)

Найдем значение $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Найдем значение $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $y \in [0; \pi]$, для которого $cos(y) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $y = \frac{3\pi}{4}$. Таким образом, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$. Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

arccos(-a) и arccosa

Обобщим предыдущие результаты, как показано на рисунке 15.7. Пусть $y = arccos(a)$. По определению это означает, что $cos(y) = a$ и $0 \le y \le \pi$.

Рассмотрим выражение $arccos(-a)$. Нам нужно найти такое число $z$, что $cos(z) = -a$ и $0 \le z \le \pi$.

Из $cos(y) = a$ следует, что $-cos(y) = -a$. Используя формулу приведения $cos(\pi - y) = -cos(y)$, мы можем записать $cos(\pi - y) = -a$.

Проверим, принадлежит ли угол $\pi - y$ отрезку $[0; \pi]$. Так как $0 \le y \le \pi$, умножив на -1, получим $0 \ge -y \ge -\pi$. Прибавив $\pi$ ко всем частям неравенства, получим $\pi \ge \pi - y \ge 0$, что равносильно $0 \le \pi - y \le \pi$.

Таким образом, мы нашли угол $(\pi - y)$, который лежит в нужном промежутке и косинус которого равен $-a$. Следовательно, $arccos(-a) = \pi - y$. Заменив $y$ на $arccos(a)$, получаем тождество: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

Ответ: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.