Задания, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Установите зависимость между значениями выражений: $\text{arctg}(-1)$ и $\text{arctg}1$; $\text{arctg}(-a)$ и $\text{arctg}a$ (рис. 15.13).

arcctg(-1) и arcctg1

Арккотангенс, $y = \text{arcctg}(x)$, — это функция, обратная к котангенсу $y = \text{ctg}(x)$ на интервале $(0, \pi)$. Таким образом, значение $\text{arcctg}(x)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Сначала найдем значение $\text{arcctg}(1)$. Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, что $\text{ctg}(\alpha) = 1$. Этому условию удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь найдем значение $\text{arcctg}(-1)$. Нам нужно найти такой угол $\beta$ из интервала $(0, \pi)$, что $\text{ctg}(\beta) = -1$. Так как значение котангенса отрицательно, угол $\beta$ должен находиться во второй четверти. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, получим:

$\text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Угол $\beta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Следовательно, $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$. Таким образом, мы можем установить следующую зависимость: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

Ответ: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

arcctg(–a) и arcctga

Установим зависимость в общем виде. Пусть $\alpha = \text{arcctg}(a)$. По определению это означает, что $\text{ctg}(\alpha) = a$ и $0 < \alpha < \pi$.

Пусть $\beta = \text{arcctg}(-a)$. Это означает, что $\text{ctg}(\beta) = -a$ и $0 < \beta < \pi$.

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x)$.

Применим это тождество к углу $\alpha$:

$\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Так как $\text{ctg}(\alpha) = a$, мы можем подставить это в тождество и получить:

$\text{ctg}(\pi - \alpha) = -a$.

Теперь у нас есть два равенства:

1. $\text{ctg}(\beta) = -a$

2. $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -a$

Оба угла, $\beta$ и $(\pi - \alpha)$, имеют одинаковый котангенс. Проверим, в каком интервале лежит угол $(\pi - \alpha)$.

Поскольку $0 < \alpha < \pi$, то, умножив неравенство на -1, получим $-\pi < -\alpha < 0$.

Прибавив $\pi$ ко всем частям, имеем: $\pi - \pi < \pi - \alpha < \pi + 0$, то есть $0 < \pi - \alpha < \pi$.

И угол $\beta$, и угол $(\pi - \alpha)$ лежат в интервале $(0, \pi)$. На этом интервале функция котангенс является монотонно убывающей, а значит, каждое свое значение принимает только один раз. Следовательно, из равенства котангенсов следует равенство самих углов:

$\beta = \pi - \alpha$.

Подставив исходные выражения для $\alpha$ и $\beta$, мы получаем искомую зависимость: $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.

Ответ: $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.