Страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Установите зависимость между значениями выражений: $\text{arctg}(-1)$ и $\text{arctg}1$; $\text{arctg}(-a)$ и $\text{arctg}a$ (рис. 15.13).

arcctg(-1) и arcctg1

Арккотангенс, $y = \text{arcctg}(x)$, — это функция, обратная к котангенсу $y = \text{ctg}(x)$ на интервале $(0, \pi)$. Таким образом, значение $\text{arcctg}(x)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Сначала найдем значение $\text{arcctg}(1)$. Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, что $\text{ctg}(\alpha) = 1$. Этому условию удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь найдем значение $\text{arcctg}(-1)$. Нам нужно найти такой угол $\beta$ из интервала $(0, \pi)$, что $\text{ctg}(\beta) = -1$. Так как значение котангенса отрицательно, угол $\beta$ должен находиться во второй четверти. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, получим:

$\text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Угол $\beta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Следовательно, $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$. Таким образом, мы можем установить следующую зависимость: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

Ответ: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

arcctg(–a) и arcctga

Установим зависимость в общем виде. Пусть $\alpha = \text{arcctg}(a)$. По определению это означает, что $\text{ctg}(\alpha) = a$ и $0 < \alpha < \pi$.

Пусть $\beta = \text{arcctg}(-a)$. Это означает, что $\text{ctg}(\beta) = -a$ и $0 < \beta < \pi$.

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x)$.

Применим это тождество к углу $\alpha$:

$\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Так как $\text{ctg}(\alpha) = a$, мы можем подставить это в тождество и получить:

$\text{ctg}(\pi - \alpha) = -a$.

Теперь у нас есть два равенства:

1. $\text{ctg}(\beta) = -a$

2. $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -a$

Оба угла, $\beta$ и $(\pi - \alpha)$, имеют одинаковый котангенс. Проверим, в каком интервале лежит угол $(\pi - \alpha)$.

Поскольку $0 < \alpha < \pi$, то, умножив неравенство на -1, получим $-\pi < -\alpha < 0$.

Прибавив $\pi$ ко всем частям, имеем: $\pi - \pi < \pi - \alpha < \pi + 0$, то есть $0 < \pi - \alpha < \pi$.

И угол $\beta$, и угол $(\pi - \alpha)$ лежат в интервале $(0, \pi)$. На этом интервале функция котангенс является монотонно убывающей, а значит, каждое свое значение принимает только один раз. Следовательно, из равенства котангенсов следует равенство самих углов:

$\beta = \pi - \alpha$.

Подставив исходные выражения для $\alpha$ и $\beta$, мы получаем искомую зависимость: $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.

Ответ: $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.

ОБЪЯСНИТЕ

Какие значения в выражении $\text{arcctga}$ может принимать число $a$? Почему?

В выражении $\operatorname{arcctg}(a)$ число $a$ может принимать любое действительное значение.

Почему?

Это следует из определения арккотангенса как функции, обратной к котангенсу. Область определения любой обратной функции совпадает с областью значений исходной функции.

1. Исходная функция — это котангенс, $y = \operatorname{ctg}(x)$.

2. Областью значений функции котангенса является множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого, даже самого большого или самого маленького, действительного числа $a$ всегда найдется такой угол $x$, что его котангенс будет равен этому числу $a$.

3. Обратная функция — это арккотангенс, $x = \operatorname{arcctg}(y)$. Её область определения (множество всех допустимых значений аргумента) должна совпадать с областью значений котангенса.

Следовательно, поскольку котангенс может принимать любое действительное значение, аргумент $a$ в выражении $\operatorname{arcctg}(a)$ также может быть любым действительным числом.

Ответ: Число $a$ может принимать любое действительное значение, то есть $a \in \mathbb{R}$ или, в другой записи, $a \in (-\infty; +\infty)$.

1. Сколько корней может иметь уравнение $f(x) = a$? При каком условии это уравнение имеет единственный корень?

2. Сколько корней на числовом промежутке $[-\pi; \pi]$ имеет уравнение: 1) $sinx = a$; 2) $cosx = a$; 3) $tgx = a$; 4) $ctgx = a$?

3. Чему равен: 1) $arcsin(sin\alpha)$; 2) $arccos(cos\alpha)$; 3) $arctg(tg\alpha)$; 4) $arcctg(ctg\alpha)$?

4. Какие значения в выражении: 1) $arcsin(sin\alpha)$; 2) $arccos(cos\alpha)$; 3) $arctg(tg\alpha)$; 4) $arcctg(ctg\alpha)$ может принимать $\alpha$? Почему?

1. Сколько корней может иметь уравнение $f(x) = a$? При каком условии это уравнение имеет единственный корень?

Если $f(x)$ — одна из основных тригонометрических функций ($\sin x, \cos x, \tan x, \operatorname{ctg} x$), то на всей своей области определения уравнение $f(x) = a$ может иметь либо бесконечное множество корней, либо не иметь корней совсем. Например, уравнение $\sin x = 0.5$ имеет бесконечное число решений, а уравнение $\cos x = 2$ — ни одного.

Уравнение $f(x) = a$ будет иметь единственный корень при двух условиях:

1. Значение $a$ принадлежит области значений функции $f(x)$.

2. Рассматривается такой промежуток, на котором функция $f(x)$ является строго монотонной (то есть только возрастает или только убывает).

Например, уравнение $\cos x = a$ имеет единственный корень для любого $a \in [-1; 1]$, если рассматривать $x$ на отрезке $[0; \pi]$, на котором косинус строго убывает.

Ответ: 0 или бесконечное множество корней. Единственный корень возможен, если значение $a$ принадлежит области значений функции и рассматривается промежуток, на котором функция строго монотонна.

2. Сколько корней на числовом промежутке $[-\pi; \pi]$ имеет уравнение:

1) $\sin x = a$

На промежутке $[-\pi; \pi]$ количество корней зависит от $a$:

• Если $|a| > 1$, корней нет.

• Если $a = 1$ (корень $x = \frac{\pi}{2}$) или $a = -1$ (корень $x = -\frac{\pi}{2}$), то 1 корень.

• Если $a = 0$, то 3 корня ($x = -\pi, 0, \pi$).

• Если $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$, то 2 корня.

Ответ: 0, 1, 2 или 3 корня.

2) $\cos x = a$

На промежутке $[-\pi; \pi]$ количество корней зависит от $a$:

• Если $|a| > 1$, корней нет.

• Если $a = 1$, то 1 корень ($x=0$).

• Если $a = -1$ или $|a| < 1$, то 2 корня.

Ответ: 0, 1 или 2 корня.

3) $\tan x = a$

На промежутке $[-\pi; \pi]$ (функция не определена в точках $x = \pm\frac{\pi}{2}$):

• Если $a=0$, то 3 корня ($x=-\pi, 0, \pi$).

• Если $a \neq 0$, то 2 корня.

Ответ: 2 или 3 корня.

4) $\operatorname{ctg} x = a$

На промежутке $[-\pi; \pi]$ (функция не определена в точках $x = -\pi, 0, \pi$, поэтому ищем корни в $(-\pi; 0) \cup (0; \pi)$):

• Для любого действительного $a$ уравнение имеет 2 корня (один на интервале $(-\pi; 0)$, другой на $(0; \pi)$).

Ответ: 2 корня.

3. Чему равен:

1) $\arcsin(\sin a)$

Это выражение равно $a$ только при условии $a \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. В общем случае результатом является такое число $b$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого выполняется равенство $\sin b = \sin a$.

Ответ: Число $b \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ такое, что $\sin b = \sin a$.

2) $\arccos(\cos a)$

Это выражение равно $a$ только при условии $a \in [0; \pi]$. В общем случае результатом является такое число $b$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого выполняется равенство $\cos b = \cos a$.

Ответ: Число $b \in [0; \pi]$ такое, что $\cos b = \cos a$.

3) $\operatorname{arctg}(\tan a)$

Это выражение равно $a$ только при условии $a \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. В общем случае результатом является такое число $b$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого выполняется равенство $\tan b = \tan a$.

Ответ: Число $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такое, что $\tan b = \tan a$.

4) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} a)$

Это выражение равно $a$ только при условии $a \in (0; \pi)$. В общем случае результатом является такое число $b$ из интервала $(0; \pi)$, для которого выполняется равенство $\operatorname{ctg} b = \operatorname{ctg} a$.

Ответ: Число $b \in (0; \pi)$ такое, что $\operatorname{ctg} b = \operatorname{ctg} a$.

4. Какие значения в выражении: ... может принимать $a$? Почему?

1) $\arcsin(\sin a)$

Параметр $a$ может быть любым действительным числом ($a \in \mathbb{R}$).

Почему? Потому что функция $\sin a$ определена для любых $a \in \mathbb{R}$, а ее область значений $[-1; 1]$ полностью содержится в области определения функции $\arcsin(y)$, которая также является отрезком $[-1; 1]$.

Ответ: $a \in \mathbb{R}$.

2) $\arccos(\cos a)$

Параметр $a$ может быть любым действительным числом ($a \in \mathbb{R}$).

Почему? Потому что функция $\cos a$ определена для любых $a \in \mathbb{R}$, а ее область значений $[-1; 1]$ совпадает с областью определения функции $\arccos(y)$.

Ответ: $a \in \mathbb{R}$.

3) $\operatorname{arctg}(\tan a)$

Параметр $a$ может быть любым действительным числом, кроме точек, где тангенс не определен: $a \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Почему? Выражение имеет смысл только тогда, когда определена внутренняя функция $\tan a$. Область значений тангенса — это все действительные числа, что совпадает с областью определения арктангенса, поэтому дополнительных ограничений нет.

Ответ: $a \in \mathbb{R}$, $a \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} a)$

Параметр $a$ может быть любым действительным числом, кроме точек, где котангенс не определен: $a \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Почему? Выражение имеет смысл только тогда, когда определена внутренняя функция $\operatorname{ctg} a$. Область значений котангенса — это все действительные числа, что совпадает с областью определения арккотангенса, поэтому дополнительных ограничений нет.

Ответ: $a \in \mathbb{R}$, $a \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.